[Лекция 1 (99K)|Лекция 2 (101K)|Лекция 3 (98K)|Лекция 4 (85K)
|Лекция 5 (211K)|Лекция 6 (184K)|Лекция 7 (198K)|Лекция 8 (178K)]
[Лекция 1 (99K)|Лекция 2 (101K)|Лекция 3 (98K)|Лекция 4 (85K)
|Лекция 5 (211K)|Лекция 6 (184K)|Лекция 7 (198K)|Лекция 8 (178K)]
Предлагаемый курс лекций посвящен изучению оператора Дирака и некоторым его приложениям к дифференциально-геометрическим вопросам.
Интерес к оператору Дирака в современной математике и теоретической физике общеизвестен. Работы Атьи, Конна, Виттена и др. показывают важность инвариантов оператора Дирака и, в первую очередь, индекса. В то же время вычисление индекса методами алгебраической топологии в ряде задач дифференциальной геометрии является неадекватным и требуется иметь чисто аналитический вывод формулы индекса, свободный от применения серьезных топологических средств.
Именно поэтому основной вопрос, который рассматривается в данном курсе, — это вопрос о получении так называемой локальной формулы индекса для оператора Дирака. Эта формула, выражающая индекс как интеграл специальной дифференциальной формы, получается простым и изящным аналитическим методом (Getzler), не использующим никаких топологических средств. В курсе также рассматривается теория Атьи--Патоди--Зингера, позволяющая, в частности, получить формулу индекса для оператора Дирака на многообразии с краем — оператора для которого препятствие Атьи--Ботта не исчезает.
Для понимания лекций никаких предварительных знаний выходящих за рамки первых двух курсов университета не предполагается.
Лекция 1. Вводная.
Лекция 2. Алгебры Клиффорда, спиноры, спинорные представления, спинорная группа.
Лекция 3. Элементы римановой геометрии. Оператор Дирака.
Лекция 4. Индекс эллиптических операторов. Аналитические индексы геометрических операторов. Геометрические операторы как операторы Дирака с коэффициентами.
Лекция 5. Индекс эллиптического оператора как суперслед. Метод уравнения теплопроводности.
Лекция 6. Индекс оператора Дирака. Теорема Гецлера.
Лекция 7. Геометрические операторы и характеристические классы.
Лекция 8. Индекс общих эллиптических операторов. Редукция к оператору Дирака.
Лекция 9. Оператор Дирака и функциональный интеграл.
Лекция 10. Оператор Дирака на многообразии с краем. Теория Атьи--Патоди--Зингера.
