На главную страницу НМУ

А.Л.Городенцев (A.Gorodentsev)

Алгебра, 3 семестр (Algebra, 3rd semester)

Домашний экзамен (Take-home exam)

[Postscript (87K)|Zipped postscript (87K)]

Программа курса

  1. Категории, функторы, эквивалентности категорий, категорные конструкции линейной алгебры, пределы и задание объектов "универсальными свойствами".
  2. Группы, конечные группы и группы многогранников, действие групп, теоремы Силова, симметрическая группа, тип симметрии тензора, функторы Шура.
  3. Пространства с операторами: лемма Шура, полная приводимость представлений конечных и компактных групп, описание неприводимых sl2-модулей, описание неприводимых представлений симметрической группы.
  4. Свойства полупростых модулей над ассоциативными алгебрами, теорема о двойном коммутаторе, теорема Бернсайда (A линейно порождает Endk(V) если A-модуль V неприводим над замкнутым полем k)
  5. Кольцо представлений конечной группы: полупростота групповой алгебры, теория характеров, соотношения на размерности неприводимых представлений, индуцирование и ограничение представлений, двойственность Фробениуса.
  6. Алгебра симметричесих функций и теория представлений Sn и GLN (по крайней мере, явное описание неприводимых Sn- и GLN-модулей при помощи диаграмм Юнга). Исчисление таблиц Юнга и умножение полиномов Шура (в стиле книжки Фултона "Young Tableaux")
  7. (если позволит время) Алгебры Клиффорда, спинорное накрытие ортогональной группы и многообразия спиноров (т.е. многообразие максимальных изотропных подпространств, лежащих на невырожденной квадрике над алгебраически замкнутым полем), триальность (каноническая тройка квадрик в P7, в которой каждые две квадрики параметризуют пару семейств 3-мерных подпространств, заметающих 3-ю квадрику) и алгебра октав.
    Rambler's Top100