[Лекция
1 (32K)|Лекция
2 (33K)|Лекция
3 (29K)|Лекция
4 (32K)
Лекция
5 (28K)|Лекция
6 (38K)|Лекция
7 (26K)|Лекция
8 (41K)]
[Лекция
1 (32K)|Лекция
2 (33K)|Лекция
3 (29K)|Лекция
4 (32K)
Лекция
5 (28K)|Лекция
6 (38K)|Лекция
7 (26K)|Лекция
8 (41K)]
1. Введение. Понятие динамической системы. Обзор основных подходов и конструкций эргодической теории: эргодические теоремы; спектр; символическая динамика; энтропия; комбинаторные свойства динамических систем.
2. Необходимые сведения из топологии. Теорема Тихонова. Топологические группы. Топологические линейные пространства. Пополнение.
3. Необходимые сведения о геометрических свойствах банаховых пространств. Сопряженное пространство. Теорема Банаха--Алаоглу.
4. Банаховы алгебры. Идеалы. Факторизация. Теорема Гельфанда--Мазура. Спектр элемента алгебры. Аналитичность резольвенты. Свойства спектра.
5. Коммутативные банаховы алгебры. Простраство максимальных идеалов, его компактность. Преобразование Гельфанда. Кольцевая граница.
6. Алгебра $C(K)$. Теорема Стоуна--Вейерштрасса. Коммутативные $C^*$-алгебры. Теорема Гельфанда--Наймарка.
7. Гильбертовы пространства. Алгебра $B(H)$. Разложение единицы. Спектральная теорема для нормальной алгебры в $B(H)$. Унитарные представления, порожденные действиями групп $\mathbb R$ и $\mathbb Z$. Спектральная теорема для динамической системы.
8. Статистические свойства динамических систем (перемешивание, слабое перемешивание, жесткость) и их связь со спектральными инвариантами.
9. Спектральная классификация систем с дискретным спектром.
10. Алгебраические автофорфизмы тора и системы Бернулли.
11. Спектр и аппроксимация. Спектральные свойства некоторых гладких динамических систем.
12. Преобразования с простым спектром. Системы ранга 1 и типичные спектральные свойства. Открытые вопросы.
