На главную страницу НМУ

И.С.Красильщик

Геометрия дифференциальных уравнений

Программа курса

Алгебро-геометрическая двойственность

Модули и расслоения

Свободные модули. Проективные модули: определение и свойства. Проективность модулей сечений векторных расслоений над компактными многообразиями. Реализуемость проективных модулей над кольцом гладких функций как модулей сечений векторных расслоений над соответствующим многообразием.

Дифференциальное исчисление в коммутативных алгебрах

Категории и функторы

Дифференциальные операторы в категории модулей над коммутативной алгеброй с единицей. Эквивалентность алгебраического и аналитического определений. "Правая" и "левая" представимость функтора дифференциальных операторов, алгебраические джеты модуля. Дифференцирования со значениями в модуле. Представимость функтора дифференцирований, алгебраические 1-формы. Комплекс де Рама коммутативной алгебры с единицей. Геометрические модули. Представимость функторов дифференциальных операторов и дифференцирований в категории геометрических модулей совпадение представляющих объектов с геометрическими джетами и формами соответственно.

Геометрия бесконечных джетов и бесконечно продолженных уравнений

Бесконечные джеты векторных расслоений

Множества бесконечных джетов, естественные проекции. Топология и гладкая структура в на бесконечных джетах. Алгебра гладких функций на многообразии бесконечных джетов, фильтрации. Регулярные модули. Векторные поля, формы, распределения на многообразии бесконечных джетов. Дифференциальное исчисление в категории регулярных модулей.

Геометрические структуры на многообразии бесконечных джетов

Распределение Картана, максимальные интегральные многообразия. Связность Картана. Форма связности Картана и дифференциал Картана, связь с формами Картана. Поднятие линейных дифференциальных операторов на многообразии бесконечных джетов, дифференциальные операторы в полных производных.

Поднятие дифференциала де Рама и горизонтальный комплекс де Рама. Связь с дифференциалом Картана. Поднятие векторных полей и полные производные. Интерпретация связности Картана.

Структура полей Ли на многообразии бесконечных джетов

Алгебра Ли симметрий распределения Картана на многообразии бесконечных джетов. Идеал тривиальных симметрий. Описание элементов факторалгебры Ли нетривиальных симметрий через эволюционные дифференцирования. Линеаризации нелинейных дифференциальных операторов. Высшие скобки Якоби.

Геометрия бесконечно продолженных уравнений

Бесконечно продолженные уравнения. Формально интегрируемые уравнения. Распределение и связность Картана в расслоении бесконечных джетов. Алгебра Ли "высших" симметрий. Описание в терминах универсальной линеаризации. Координатные вычисления и примеры.

Джеты подмногообразий

Примеры задач, приводящих к уравнениям в джетах подмногообразий. Модификация основных геометрических конструкций применительно к джетам подмногообразий.

Нелокальная теория

Категория дифференциальных уравнений

Объекты, морфизмы, размерность. Накрытия. Примеры. Преобразования Беклунда. Основные конструкции. Связь с горизонтальными когомологиями де Рама.

Нелокальные симметрии

Определение. Примеры. Нелокальные симметрии и их тени. Восстановление симметрии по тени. Универсальное накрытие и теорема о восстановлении. Операторы рекурсии.

Накрытия, ассоциированные с дифференциальными операторами в полных производных

Расширения уравнений с помощью дифференциальных операторов в полных производных и их свойства. Накрытия, ассоциированные с линеаризацией уравнения и сопряжённым оператором, и их применение для вычисления инвариантов нелинейных уравнений. Касательное и кокасательное расслоения в категории дифференциальных уравнений.


Rambler's Top100