Семинар М.~Э.~Казаряна и С.~К.~Ландо "Характеристические классы и теория пересечений" возобновляет свою работу по средам в 19.00 в ауд. 206 (обратите внимание на изменение дня и времени проведения семинара!). Первое занятие семинара 30 января 2008 г.
Среди основных тем семинара
Среда 28 мая 2008 г
Блок и Окуньков доказали, что некоторые производящие функции, перечисляющие накрытия тора, являются квазимодулярными формами. После предварительного краткого введения в квазимодулярные формы и тета-функции мы расскажем основные идеи доказательства и подробно разберём самый простой случай.
Среда 21 мая 2008 г.
Это продолжение доклада про Зигелевы модулярные формы. В прошлый раз были даны +основные определения, обобщающие определения из теории модулярных форм относительно SL_2(Z). В этот раз +больший акцент будет сделан на примерах и приложениях. В частности, будет рассказано, как Зигелевы +модулярные формы помогают лучше понять геометрию пространства модулей абелевых многообразий в малых родах как +над алгебраически замкнутыми, так и над незамкнутыми полями.
Среда 14 мая 2008 г.
Обсуждение текущих задач.
Среда 7 мая 2008 г.
Согласно Лосеву, Шадрину и Со., теория dGBV-алгебр является одним из источников продолжения потенциалов Громова-Виттена по родам (несмотря не отсутствие каких-либо нетривиальных конечномерных примеров). Как обнаружил недавно С.Шадрин, эта теория, со всей ее сложной аксиоматикой, может быть воспроизведена в рамках теории Гивенталя классификации фробениусовых структур и когомологических теорий поля, в результате чего она преобретает довольно простой и наглядный смысл. Этот результат Шадрина и будет обсуждаться в докладе.
В среду 30 апреля 2008 г. семинар отменяется В следующую среду, 7 мая, семинар планируется, информащия будет размещена позже.
Среда 23 апреля 2008 г
Будет выписано семейство решений иерархии KP, зависящее от счетного числа переменных. После чего будет показано, что некоторые производящие функции для числа накрытий являются специализациями этого семейства решений, и, значит, являются решениями иерархии KP.
Среда 16 апреля
Этот доклад планируется как введение в теорию зигелевых модулярных форм, являеющихся обобщением классических модулярных форм относительно подгрупп SL_2(Z). Кроме общей теории, значительный акцент будет сделан на примерах. В частности, будет рассказано, как Зигелевы модулярные формы помогают лучше понять геометрию пространства модулей абелевых многообразий в малых родах как над алгебраически замкнутыми, так и над незамкнутыми полями.
Среда 09 апреля
Среда 02 апреля
Ia napishu iawnie formuli dlia sobstwennix funkzii hamiltonianow kwantowoi ierarxii Todi i postaraus obiasnit swiazi s rabotami Giventalia i ,Finkilberga - Bravermana ( t.e rech budet idti o wichisleniax w nesuschestwuuschei ekwiwariantnoi K-teorii).
Среда 26 марта
Линейный дифф. оператор Т=\sum_{i=1} ^k Q_i(x) d^i/dx^i, где Q_i(x) многочлены, называется точно решаемым, если степень Q_i(x) не превосходит i и найдется значение индекса, для которого имеет место равенство степени и индекса. Легко показать, что любой точно решаемый Т имеет по одному собственному многочлену в каждой степени для всех достаточно больших степеней. В лекции будет рассказано об асимптотике нулей этих многочленов а также различные вариации на эту тему, включая ситуацию классического уравнения Шредингера с многочленным потенциалом. (Все необходимые определения будут сообщены по ходу лекции.)
Среда 19 марта
Комбинаторный симплициальный комплекс с множеством вершин M это множество S(M) подмножеств в M, содержащее все одноэлементные подмножества и вместе с каждым подмножеством X также все его подмножества. Над полем характеристики нуль мы опишем функториальную относительно вложений конечных множеств $M\to M'$ строгую ретракцию симплициального цепного комплекса, ассоциированного с S(M), на симплициальный цепной комплекс, ассоциированный с его барицентрическим подразбиением. Такая ретракция единственна. Она позволяет по данному функториальному относительно вложений конечных множеств $M\to M'$ копроизведению симплициальных коцепей канонически строить новое функториальное копроизведение, индуцированное исходным произведением, вычисленным на барицентрическом разбиении. Индуцированное копроизведение естественно называть барицентрическим разбиением исходного. Мы покажем, что имеется единственное функториальное А-бесконечность копроизведение коцепей, инвариантное относительно барицентрического разбиения. В простейшем случае, когда S(M) это отрезок, производящая функция для старших корреляторов барицентрически инвариантного копроизведения имеет в качестве коэффициентов числа Бернулли. В общем случае замкнутой формулы для старших корреляторов еще не придумано.
Среда 12 марта
Колмогоров объяснял конструктивную логику как логику, допускающую функциональную интерпретацию (т.е., говоря попросту, доказательства можно интерпретировать как функции). С такой точки зрения (известной как парадигма Брауэра-Гейтинга-Колмогорова) модель логической системы это категория, объекты которой можно разумным образом сопоставить логическим формулам, а морфизмы - доказательствам. Желательно, чтобы модель была "интересной" и, в каком-нибудь смысле, полной. Один из наиболее важных примеров конструктивной логики это линейная логика (изобретённая Ж.И. Жираром 30 лет назад). Автором было замечено, что полная модель линейной логики может быть построена на основе симплектической категории А. Вайнстайна. В этой категории объекты это симплектические многообразия, а стрелки - лагранжевы подмногообразия. Знаний по логике не требуется
5 марта, среда
На пространстве модулей кривых рода g с n отмеченными точками естественным образом действует группа S_n, поэтому можно определить S_n-эквивариантную эйлерову характеристику этого пространства. Ее вычисление важно, например, для вычисления обычной (неэквивариантной) эйлеровой характеристики компактифицированного пространства модулей.
Для гиперэллиптических кривых известно большое количество ответов для разных g и n (Гетцлер, Томмаси, Бергстрем, Бини, ван дер Гир...). В докладе будет предложена общая формула, обобщающая все эти ответы при g>1. Метод доказательства, как и у большинства авторов, состоит в рассмотрении забывающего отображения H_{g,n} в H_{g,0}, но вместо подсчёта когомологий пучков анализируются автоморфизмы кривых и их неподвижные точки. Итоговый ответ получается довольно громоздким, но каждое слагаемое в нем имеет прозрачную геометрическую интерпретацию.
27 февраля, среда
By pairwise gluing of sides of a polygon, one produces two-dimensional surfaces with handles and boundaries. In this paper, we count the number ${\cal N}_{g,L}(n_1, n_2, ..., n_L)$ of different ways to produce a surface of given genus $g$ with $L$ polygonal boundaries with given numbers of sides $n_1, n_2,..., n_L$. Using combinatorial relations between graphs on real two-dimensional surfaces, we derive recursive relations between ${\cal N}_{g,L}$. We show that Harer-Zagier numbers appear as a particular case of ${\cal N}_{g,L}$ and derive a new explicit expression for them.
20 февраля, среда
Как оказалось, при правильной интерпретации "несформулированная" теорема Гивенталя оказывается верной буквально в той формулировке, в какой она у него (не) сформулирована.
13 февраля, среда
Я поделюсь своими результатами компьютерных экспериментов с группой Гивенталя и ее действием в пространстве потенциалов Громова-Виттена. В частности, будет приведена точная формулировка формулы Гивенталя, восстановающая полный потенциал с потомками по фробениусовой структуре, и его "несформулировання теорема" о том, что это действие в случае рода 0 согласуется с уравнениями топологической рекурсии. Последний результат у Гивенталя не только не доказан, но даже нигде явно не сформулирован; наверно считается самоочевидным.
February 06, Wednesday
Объем Вейля-Петерсона равен максимальному индексу самопересечения первого класса Мориты-Мамфорда. Стандартыне соотношения сводят вычисление этих чисел пересечений к вычислению корелляторов, входящих теорему Виттена-Концевича. Вариант алгоритма, предложенный П.Зографом, использует уравнение КдФ для виттеновского потенциала, а также так называемый анзац Итзыксона-Зюбера. Алгоритм настолько эффективный, что позволяет довести значения рода в компьютерных экспериментах до 30-40. Это приводит к довольно точным гипотезам об асимптотическом поведении объемов. Например, отношение объема пространства модулей к объему его дивизора неприводимых особых кривых стремится, гипотетически, к 2\pi^2. Эта константа была подобрана Доном Загиром безо всякой мотивировки, однако она согласуется со значеннием, полученным экспериментально, примерно в десятке цифр!
30 января, среда
