На главную страницу НМУ

Геометрия нелинейных дифференциальных уравнений (весна 1998)

И.С.Красильщик

Задачи к экзамену (Exam problems)

[Postscript-файл (88 K)|Запакованный zip-ом postscript-файл (31 K)]

Требования к подготовке слушателей

Гладкие многообразия и дифференциальное исчисления на них: векторные поля, дифференциальные формы, распределения. Локально-тривиальные и векторные расслоения, связности. Основы теории категорий: категории, функторы, диаграммы. Коммутативная алгебра: кольца, алгебры, модули, спектры.

Программа курса

Джеты и классическая теория симметрий

  1. Многообразия и расслоения джетов. Канонические координаты.
  2. Линейные дифференциальные операторы. Поднятия.
  3. Нелинейные операторы. Композиции и продолжения.
  4. Уравнения. Решения. Конусы и типы.
  5. Распределение Картана. Структура интегральных многообразий.
  6. Симметрии и их производящие функции. Приложения.
  7. Внешние и внутренние симметрии.

Бесконечные джеты и теория высших симметрий

  1. Необходимые сведения из дифференциального исчисления в коммутативных алгебрах.
  2. Бесконечные джеты. Бесконечные продолжения нелинейных операторов.
  3. Распределение Картана на бесконечных джетах. Интегрируемость и структура интегральных многообразий.
  4. Бесконечные продолжения нелинейных уравнений. Формальная интегрируемость.
  5. Симметрии распределения Картана на бесконечных джетах. Эволюционные дифференцирования и линеаризации.
  6. Высшие симметрии нелинейных уравнений. Структурная теорема.
  7. Примеры вычислений.

Накрытия и нелокальные симметрии

  1. Категория дифференциальных уравнений: объекты и морфизмы.
  2. Накрытия в категории дифференциальных уравнений. Примеры.
  3. Преобразования Беклунда. Операторы рекурсии.
  4. Нелокальные симметрии и их тени. Примеры.
  5. Универсальное абелево накрытие и теорема о восстановлении.

Связи с гомологической алгеброй и перспективы


Rambler's Top100