Le concept d'intégrabilité est présent dans de très nombreux travaux de mathématiques et de physique théorique.
Parmi les grandes directions dans lesquelles se concentre l'activité de recherche actuelle, on trouve:
Ces différents aspects progressent de façon concomitante en s'enrichissant mutuellement. C'est ainsi que la théorie de la représentation joue un rôle central dans tous ces travaux, et que l'étude des déformations (e.g. d'algèbres de Lie) est une étape essentielle. Par ailleurs, il apparaît de plus en plus clairement que des concepts de géométrie algébrique sont sous-jacents à la plupart de ces sujets, et il est souhaitable qu'ils soient mieux exploités. Dans chacun de ces domaines, la France possède des équipes de pointe, ayant contribué souvent de façon déterminante aux progrès récents, mais qui, tout en se connaissant bien, ne disposent pas actuellement des moyens suffisants pour se rencontrer et pour interagir, et qui, malgré d'importantes capacités de formation, n'ont que trop peu de ressources matérielles pour accueillir des jeunes postdoctorants. Le projet présent vise à fédérer ces compétences en mathématiques et en physique mathématique en constituant un réseau entre les équipes disséminées à Paris et en province. Il se propose aussi d'adjoindre à ce réseau le laboratoire franco-russe Poncelet comme lieu d'échanges avec la communauté russe qui est particulièrement active et renommée dans le sujet.
L'ensemble sera constitué de quatre équipes (une à Paris, deux en province, regroupant chacune des chercheurs de plusieurs laboratoires, plus le laboratoire Poncelet). Les moyens demandés permettront d'une part d'accueillir des jeunes chercheurs au niveau postdoctoral, (5 postdocs-an), d'autre part de stimuler les collaborations en organisant des échanges individuels de quelques jours entre équipes et en réunissant les participants en trois rencontres au cours des trois ans du projet.
On peut attendre de ce projet des avancées significatives dans grand nombre des sujets mentionnés. En physique mathématique, les multiples relations entre intégrales matricielles, combinatoire, géométrie algébrique et intégrabilité devraient se clarifier et ouvrir de nouvelles voies. La construction de modèles intégrables quantiques, depuis leur quantification par déformation jusqu'à l'étude de leur structure algébrique et de leurs fonctions de corrélation, devrait également progresser. Les aspects géométriques de théorie de la représentation et leur relation à l'intégrabilité sont également particulièrement porteurs.
The concept of integrability is present in numerous areas of mathematics and theoretical physics. Among the main directions in which the present activity is concentrated, one can distinguish
The progress in these various directions occurs concomitantly as they mutually enrich one another. Thus, representation theory plays a key role in all these studies, and the study of deformations (e.g. of Lie algebras) is an essential step. Furthermore, it appears more and more clearly that concepts of algebraic geometry underlie many of these areas of research, and it is desirable that they be better exploited. In all these fields, France possesses teams of the highest level, who often contributed decisively to the recent progress, but who, despite being in contact with each other, do not have sufficient means to meet and interact on a regular basis; and who, despite significant training efforts, have limited material resources to attract young postdocs. The present project aims at bringing together these skills in mathematics and mathematical physics by forming a network between the teams scattered all over France. It also proposes to add to this network the french-russian laboratory (laboratoire Poncelet, Moscow) as a bridge to the russian community which is particulary renowned and active in this field. The whole project will be divided into four teams (one in Paris, two other french teams grouping people from several labs, and the laboratoire Poncelet).
The requested financial aid will allow to invite young researchers at the postdoctoral level (5 postdoc-years); and to encourage collaborations by organizing individual exchanges of a few days between teams and by gathering the participants for three meetings during the three years of the project.
One can expect that this project will result in significant progress in the aforementioned active areas of research. In mathematical physics, the multiple relations between matrix integrals, combinatorics, algebraic geometry and integrability should become clearer and lead to new directions of research. The construction of quantum integrable models, from deformation quantization to the study of their algebraic structure and of their correlation functions should also progress. Geometric aspects of representation theory and their relation to integrability are equally promising areas.