Б.З.Мороз (MaxPlanck Institut, Bonn)

Миникурс "Диофантовы уравнения и доказуемость в математике"

В 1970-м году Ю. В. Матиясевич доказал, что любое перечислимое множество является Диофантовым. Из этой замечательной теоремы, в частности, следует, что множество значений любой рекурсивной функции совпадает с множеством положительных значений некоторого полинома с целыми коэффициентами. Я объясню, как построить такой полином для множества простых чисел, биномиальных коэффициентов и других последовательностей. Множество теорем любой математической теории, например теории множеств или арифметики, перечислимо, так что доказывая математические теоремы, мы решаем некоторое Диофантово уравнение. Никаких предварительных знаний у слушателей не предполагается.

Примерный план курса:

Лекция 1. Основные понятия. Перечислимые множества. Тезис Черча. Доказуемость в математике. Диофантовы предикаты.

Лекция 2. Диофантовость возведения в степень.

Лекция 3. Диофантовость биномиальных коэффициентов и сходных функций.

Лекция 4. Устранение ограниченных кванторов всеобщности. Теорема о Диофантовом кодировании последовательностей. Диофантовость множества простых чисел.

Лекция 5. Диофантовость рекурсивных функций и перечислимых множеств.

Лекция 6. Универсальные Диофантовы уравнения и неразрешимость 10-й проблемы Гильберта.

Лекции будут проходить с 12 по 21 марта по понедельникам и средам (12, 14, 19 и 21 марта) в 17:00 в здании Независимого Московского Университета на 4 этаже в аудитории 404. В понедельник лекция сдвоенная.