I Московская математическая конференция школьников

Шарнирные механизмы П.Л. Чебышева

Н.Н.Андреев (andreev@mccme.ru)

Тематика плоских шарнирных механизмов на протяжении нескольких веков доставляет хороший пример взаимопроникновения техники и науки. Став популярной с появлением паровой машины Джеймса Уатта (1736–1819), она подтолкнула ученых к интересным математическим исследованиям. Великий российский математик Пафнутий Львович Чебышев (1821–1894), улучшая параллелограмм Уатта, разрабатывает две теории, ставшие классикой науки — теорию приближения функций и теорию метрического синтеза механизмов. Разработанные теории стали применяться (в том числе и в наши дни) в практических задачах. А в конце XX века, шарнирные механизмы снова приводят к содержательным математическим задачам, не решенным и по сей день.

Изначальная задача — построение плоского шарнирного механизма, переводящего движение одного шарнира по окружности в движение другого шарнира по прямой. То есть спрямляющего механизма, или прямила.

Долгое время ученые и инженеры не могли решить эту задачу, строили приближенные прямила, где ведомый шарнир ходил не строго по прямой, но рядом, не очень далеко удаляясь от нее.

Построив механизм с траекторией ведомого шарнира, на некотором участке не сильно уклоняющейся от отрезка, П.Л. Чебышев придумывает первую в мире «Стопоходящую машину».

Придумав лучшее приближенное прямило, дающее замкнутую траекторию, на всем промежутке мало уклоняющуюся от прямолинейного отрезка. П.Л. Чебышев придумывает "парадоксальный" механизм.

Стоит отметить, что Чебышев так и не нашел точное решение первоначальной задачи — построения точного прямила. Но, благодаря этому, математика обогатилась замечательными идеями. Ответ на изначальный вопрос нашел студент Чебышева — Липман Липкин (1846–1876) — построив инверсор.

Пафнутий Львович много лет увлекался построением различных плоских шарнирных механизмов и придумал их несколько десятков. Будучи профессором Санкт-Петербургского университета, большую часть своего жалования он тратил на изготовление изобретенных механизмов. Некоторые механизмы дошли до наших дней, от некоторых остались только фотографии, от некоторых и того меньше — только кинематические схемы.

Восстановить точно движение этих механизмов — интересная с математической точки зрения и благородная с человеческой точки зрения задача.

Предлагается совместно с проектом «Математические этюды» математически рассчитать движения некоторых из механизмов П.Л. Чебышева, после чего красиво реализовать их с использованием компьютерной 3D-графики.