I Московская математическая конференция школьников

ВОКРУГ ПРОБЛЕМ STEINER'A И BORSUK'A

А.Б.Сосинский (abs@diffiety.ac.ru)

Здесь приводятся две серии задач (начинающиеся с разминочных и кон-чающиеся нерешенными) по двум геометрическим темам.

I. Минимальные сети дорог (Steiner)

В общем виде задача Steiner'a формулируется так: на плоскости (или на сфере) даны n точек ("города"); требуется найти минимальный (т.е. с наименьшейшей суммарной длиной) набор ломанных ("минимальную сеть дорог") соединяющих эти точки.

Разминочные задачи: найдите минимальную сеть (и постройте ее циркулем и линейкой) для

(1) вершин квадрата (NB: ответ "диагонали" неверен);

(2) вершин (произвольного) треугольника (NB: не забудьте случай, когда один из углов больше 120 градусов!);

(3) вершин выпуклого четырехугольника (NB: из решения этой задачи следует, что во всех "перекрестках" любой минимальной сети сходятся ровно три дороги, притом под углом 120 гр.).

Следующую задачу нельзя считать разминочной (ее решение требует разбор нескольких случаев): найти минимальную сеть для

(4) вершин выпуклого пятиугольника.

Дальнейшее продвижение (при увеличения числа городов n) "вручную" чрезмерно хлопотно и этим заниматься я не рекомендую. Для умеющих программировать и владеющих компьютерной графикой предлагается следующия

Исследовательская задача I: создать компьютерную программу, котороя строит минимальные сети для малых (но не слишком малых) n.

Для более теоретически настроенных школьников предлагается другая

Исследовательская задача II: выделить несколько классов семейств точек (в том числе классы с произвольным числом точек) для которых можно указать алгоритм построения минимальной сети.

Для любителей более топологических задач, вот еще две:

Исследовательская задача III: cформулировать аналоги разминочных задач и задачи II для случая точек на сфере и попробовать их решить (NB: когда все точки лежат на какой либо полусфере, задачи III и II по существу совпадают).

Исследовательская задача IV: cформулировать аналоги разминочных задач и задачи II для случая точек на торе с плоской метрикой (т.е. на квадрате с отождествленными противоположными сторонами) и попро-бовать их решить.

II. Деление фигур на меньшие куски (Borsuk)

Текст этой серии задач появится в конце декабря.

Copyright ©2007 МЦНМО