Московское математическое общество, Московский центр непрерывного математического образования, Малый мехмат МГУ

Серия "Библиотека «Математическое просвещение»"

И. В. Ященко Парадоксы теории множеств


И. В. Ященко

Парадоксы
теории множеств

При развитии теории множеств, на которой базируется вся современная математика, возникали парадоксы. Например, парадокс брадобрея, формулируемый следующим образом:

Бреет ли себя брадобрей, если он бреет тех и только тех, кто сам себя не бреет ?

В брошюре рассказывается о том, как теория множеств обходится с подобными ситуациями, а также о других парадоксах, в том числе возникающих при рассмотрении аксиомы выбора. В частности, вы узнаете, как из одного апельсина сделать два.

В приложении 3 приведены задачи, самостоятельное решение которых поможет читателю более полно разобраться в материале брошюры.

Текст брошюры представляет собой обработанные записи лекций, прочитанных автором 8 апреля 2000 года на Малом мехмате для школьников 9–11 классов (запись Е. Н. Осьмовой) и в июле 2001 года в рамках летней школы "Современная математика" для школьников 10–11 классов и студентов 1–2 курса (запись Ю. Л. Притыкина).

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей.

Оглавление

1. Что такое множество?
2. Пустое множество
3. Парадокс брадобрея
4. Равномощность множеств
5. Парадоксы, связанные с бесконечностью
5.1. Дед Мороз и конфеты
6. Аксиома выбора
7. Неизмеримое по лебегу множество
8. Вполне упорядоченные множества
9. Трансфинитная индукция
10. Парадокс Банаха–Тарского
10.1. Две важные теоремы
10.2. Свободные группы
11. Ординалы и кардиналы
>11.1. Континуум-гипотеза
>11.2. Самый большой кардинал
12. Множества на прямой
12.1. Игры Банаха–Мазура и аксиома детерминированности

Литература

Приложения

Приложение 1. Открытые и замкнутые множества
Приложение 2. Нигде не плотные множества и множества меры ноль. Канторово множество
Приложение 3. Задачи