И. В. Ященко Парадоксы теории множеств

Парадоксы

теории множеств

При развитии теории множеств, на которой базируется вся современная математика, возникали парадоксы. Например, парадокс брадобрея, формулируемый следующим образом:

Бреет ли себя брадобрей, если он бреет тех и только тех, кто сам себя не бреет ?

В брошюре рассказывается о том, как теория множеств обходится с подобными ситуациями, а также о других парадоксах, в том числе возникающих при рассмотрении аксиомы выбора. В частности, вы узнаете, как из одного апельсина сделать два.

В приложении 3 приведены задачи, самостоятельное решение которых поможет читателю более полно разобраться в материале брошюры.

Текст брошюры представляет собой обработанные записи лекций, прочитанных автором 8 апреля 2000 года на Малом мехмате для школьников 9–11 классов (запись Е. Н. Осьмовой) и в июле 2001 года в рамках летней школы "Современная математика" для школьников 10–11 классов и студентов 1–2 курса (запись Ю. Л. Притыкина).

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей.

Оглавление

1. Что такое множество?
2. Пустое множество
3. Парадокс брадобрея
4. Равномощность множеств
5. Парадоксы, связанные с бесконечностью
5.1. Дед Мороз и конфеты
6. Аксиома выбора
7. Неизмеримое по лебегу множество
8. Вполне упорядоченные множества
9. Трансфинитная индукция
10. Парадокс Банаха–Тарского
10.1. Две важные теоремы
10.2. Свободные группы
11. Ординалы и кардиналы
>11.1. Континуум-гипотеза
>11.2. Самый большой кардинал
12. Множества на прямой
12.1. Игры Банаха–Мазура и аксиома детерминированности

Литература

Приложения

Приложение 1. Открытые и замкнутые множества
Приложение 2. Нигде не плотные множества и множества меры ноль. Канторово множество
Приложение 3. Задачи