Московское математическое общество, Московский центр непрерывного математического образования, Малый мехмат МГУ

Серия "Библиотека «Математическое просвещение»"

Д. В. Аносов Взгляд на математику и нечто из нее


О дедуктивном построении математики

На этом мы расстанемся с Древним Вавилоном и перенесемся мысленно в Древнюю Грецию, где, как уже говорилось, протонаука превратилась (или, лучше сказать, окончательно превратилась) в науку. Это произошло не только с математикой, но и с философией, астрономией, географией, биологией; отчасти это начало происходить с некоторыми частями физики (со статикой и акустикой). Судя по всему, рано или поздно это все равно произошло бы (доказательством служит Китай), но тому, что это произошло именно в Греции, как полагают, способствовали некоторые особенности греческого общества. В Греции впервые в истории получили общественное одобрение все виды творчества, продуктивной духовной деятельности, в том числе и лишенные непосредственного утилитарного значения. Общественная и культурная обстановка была такова, что широкую известность получали авторы даже тех открытий, которые не имели практической ценности. Греческому обществу был присущ дух соревновательности, причем главным признавалась победа, дававшая славу, тогда как материальных благ с ней могло и не связываться, и в любом случае они не были главным. Такое положение сложилось в греческом спорте --- все знают об Олимпиадах, но на самом деле было много соревнований, регулярно проводившихся на различных уровнях, от общегреческого до сугубо местного. Затем это в тех или иных формах распространилось на интеллектуальное творчество --- на искусство (особенно на литературу и музыку), позднее на философию и науку. Такое отношение создавало стимулы для поисков в самых различных направлениях интеллектуального творчества. В математике быстро стало ясно, что добиться общепризнанных и неопровержимых результатов здесь можно, лишь применяя строго логические рассуждения. Люди, чувствовавшие расположение к такой деятельности, испытывали при этом особого рода интеллектуальное наслаждение, причем это, конечно, было так же и на Древнем Востоке, но в Греции дедуктивное построение математической теории приобрело статус респектабельного занятия, а раньше все эти дедукции были личным делом писца и, конечно, никем не систематизировались (в отличие от результатов). Нет сомнений, что по крайней мере в Вавилоне проводились какие-то нетривиальные математические рассуждения, но систематическое дедуктивное изложение геометрии (к которой у греков в основном сводилась вся тогдашняя теоретическая математика) --- достижение греков.

Плодами многовековой работы, в результате которой вся математика, а не только геометрия, приобрела систематический характер, мы пользуемся на каждом шагу, не замечая. Алгебра и буквенные обозначения в ней --- это достижение уже не греков, а отчасти арабов, отчасти европейцев периода перехода от средних веков к новым. Мы на каждом шагу используем, что от перестановки слагаемых сумма не меняется и другие законы арифметических и алгебраических действий. Но ведь это надо было осознать и отчетливо сформулировать, чтобы потом это, так сказать, вошло в нашу плоть и кровь.

В школе более или менее дедуктивно, опираясь на аксиомы, строится геометрия. Но, к сожалению, при дедуктивном построении науки, прежде чем вы доберетесь до действительно содержательных и заранее не очевидных утверждений вроде хотя бы той же теоремы Пифагора, приходится довольно долго возиться с различными простыми фактами вроде того, что диаметр делит круг пополам или углы при основании равнобедренного треугольника равны. Оба эти утверждения приписывают, обоснованно или нет, Фалесу --- греческому мудрецу, по преданию первым начавшему разрабатывать дедуктивную трактовку геометрии. С чисто практической точки зрения --- ничего себе мудрец: даже ребенок дошкольного возраста, когда делит яблоко пополам, режет его через центр, т. е. он понимает, чувствует, догадывается, что экваториальная плоскость делит шар пополам, --- это посложнее деления круга! Но дело в том, что и такие вещи надо доказывать. За все надо платить.

Спустя две тысячи лет один молодой человек, скорее даже юноша, читал "Начала" Евклида. Он читал формулировку теоремы, на секунду задумывался, представляя себе, о чем идет речь, ему становилось ясно, что она верна, и он, не читая доказательства, переходил к следующему утверждению. Паренек не понимал сути дедуктивного построения геометрии и зачем оно нужно. Что ж, он был не первым и не последним в этом отношении. Только это был Ньютон.

Так как это был Ньютон, то впоследствии он это понял. Для своего времени он как раз в наибольшей степени следовал нормам дедуктивного построения научной теории.

В школе обычно нет возможности полностью развернуть дедуктивное построение геометрии. И не потому, что это сложно (вспомните, Ньютону первые предложения Евклида вообще казались очевидными), а потому, что это скучно и непонятно, зачем это нужно (вспомните о нем же), и требует времени. И надо следить, как бы ненароком не использовать что-нибудь совершенно нам ясное, но чего мы пока что еще не доказали. Предпринимались героические усилия, чтобы разработать сравнительно простую, легко обозримую аксиоматику и чтобы строго логическое построение геометрии на ее основе было по возможности коротким и прозрачным. Последнее достижение в этом направлении --- учебник А. В. Погорелова<. Но и его называют трудным и, говоря непочтительно, "заумным". Мне кажется, что в общеобразовательной школе, рассчитанной на всех подростков и юношей и девушек, независимо от того, чем они будут заниматься впоследствии, дать последовательное чисто дедуктивное построение геометрии никогда не удастся. (Я не говорю здесь о спецшколах физико-математического направления.)

Мне кажется, что то простое вавилонское доказательство теоремы Пифагора, которое приведено выше, долгое время оставалось "жертвой" тщетных попыток придать изложению геометрии строго дедуктивный характер. Ведь в нем используются площади, значит, при строго последовательном изложении предмета его надо отложить до того времени, когда будут изучаться площади. А в самой теореме речь идет о длинах отрезков, и хорошо бы привести ее в соответствующем месте, задолго до площадей. Кроме того, с самими площадями, если мы до них уже дошли, имеются свои сложности. Площадь не является первичным понятием, фигурирующим в аксиомах; значит, надо дать определение площади, а это не так-то просто. Правда, наибольшие сложности связаны с площадью криволинейной фигуры --- честно говоря, я сомневаюсь, чтобы в школьном курсе это можно было сделать удовлетворительным образом. Но в доказательстве теоремы Пифагора нам нужны только многоугольники, у нас ведь там были четыре треугольника и два квадрата. С ними дело обстоит лучше. Надо также знать, что площадь фигуры равна сумме площадей ее частей. Почему мы уверены, что это так? Интуитивная уверенность, по-моему, имеет отношение не столько к геометрии, сколько к физике. Мы представляем себе фигуру сделанной из какого-то однородного материала, тогда ее площадь пропорциональна количеству содержащегося в ней вещества --- ее массе. Далее подразумевается, что когда мы разделяем тело на несколько частей, сумма их масс равна массе исходного тела. Это понятно, потому что все состоит из атомов и молекул, и раз их число не изменилось, то не изменилась и их суммарная масса. Но подумайте, на какое количество экспериментальных физических фактов опирается это наше рассуждение. И ведь это отнюдь не геометрия. Впрочем, есть один геометрический момент, тоже нуждающийся в разъяснении. Ведь, собственно, масса куска однородного материала пропорциональна его объему; значит, надо знать, что объем "листа", имеющего форму данной фигуры, пропорционален ее площади. Это уже относится к стереометрии и является утверждением и о площадях, и об объемах! Словом, сколь бы ни была обоснована опытом уверенность, что площадь фигуры равна сумме площадей ее частей, в геометрии надо это доказывать. Здесь опять-таки возникают неприятности с криволинейными фигурами, но для многоугольника, разбиваемого на многоугольники же, все обстоит довольно просто. В начале века существовали учебники (повышенной сложности), в которых все это делалось аккуратно. Ничего особенно сложного здесь нет, но требуется время, которого в общеобразовательной школе хватить на это не может. В учебнике Киселева существование площади, имеющей то самое свойство, которое мы сейчас обсуждаем, честно постулировалось как некое допущение, причем говорилось, что это на самом деле верно, но мы этого доказывать не будем. Так что и теорема Пифагора, если ее доказывать с площадями, в чисто логическом отношении останется не совсем доказанной.

Замечание: раз уж я об этом заговорил, то остановлюсь на том доказательстве теоремы Пифагора, которое раньше в школе было, так сказать, основным. Оно не обращается к площадям, а основано на простом геометрическом построении и подобии возникающих при этом треугольников. Опустим в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом в вершине C высоту CH на гипотенузу AB=c. Основание H высоты разбивает гипотенузу на отрезки AH=d и BH=e. Как легко видеть, получаются пары подобных треугольников ACB и AHC, BCA и BHC. Например, ACB= AHC (оба эти угла прямые) и BAC= CAH (это же один и тот же угол). Отсюда

=,   =,

а следовательно a2=ce, b2=cd. Вот и получается, что
a2+b2=c(d+e)=c2.

Это ничуть не длиннее вавилонского доказательства. Но --- не знаю, по каким психологическим причинам, --- вавилонское доказательство воспринимается и запоминается легче.

Между прочим, приведенное выше простое доказательство формулы (2) для натуральных решений уравнения (1) тоже содержит некий деликатный момент. До (6) не к чему придраться1. А вот когда от (6) мы переходим к (3), мы используем следующее соображение: если квадрат некоторого натурального числа, скажем m2, делится на некоторое простое число p, то и само это число, т. е. m, тоже делится на p. Причем мы используем его дважды: один раз --- для нечетного p, второй --- для p=2.

Для p=2 доказательство данного утверждения тривиально (если бы m было нечетным, оно представлялось бы в виде 2l - 1, откуда m2=4l2-4l+1 --- нечетное число). А вот для неизвестного нам заранее (т. е., можно сказать, произвольного) p доказательство требует иных соображений. Известно и легко доказывается, что любое натуральное число m>1 разлагается в произведение простых чисел:

m=*...*   (7)

(pi --- простые, pi pj при i j, ki --- натуральные). Тогда, конечно,
m2=*...*,    (8)

и все, что нам надо, --- это знать, что если m2 делится на простое число p, то p совпадает с одним из pi. По существу, здесь не важно, что в (8) все показатели 2ki являются четными, так что если изменить обозначения, то речь идет о следующем утверждении: если простое число p делит число m, разложенное в произведение простых чисел согласно (7), то p совпадает с одним из pi. А последнее по существу означает, что разложить число m на простые множители можно только единственным способом.

Это кажется очевидным и, конечно, известно из арифметической практики. Коль скоро мы знаем, что 120=23* 3* 5, то 120 не делится на 7, равно как и не делится на 32= 9. И то, и другое легко проверить непосредственно. Вероятно, помимо эмпирической уверенности, возникающей из примеров, полусознательно работает еще такое "общее" соображение: разлагая число на простые множители, мы как бы разбираем его на неразбирающиеся далее составные части, а в повседневной жизни мы постоянно убеждаемся, что для одной и той же вещи совокупность ее составных частей всегда получается одной и той же. Скажем, если, разбирая будильник, мы получили какие-то зубчатые колесики, то не может случиться, что, разбирая другой раз точно такой же будильник, мы получим шестеренки другого размера или в другом количестве.

Но числа --- не будильники, а опыт с конкретными числовыми примерами еще не доказывает общего утверждения, относящегося ко всем натуральным числам (хотя и может подкрепить уверенность в его справедливости). На самом деле утверждение о единственности разложения на простые сомножители справедливо, но его надо доказывать. Интересно, что первым осознал необходимость в том, чтобы это утверждение было ясно сформулировано и доказано, был великий немецкий математик К. Гаусс. Это произошло сравнительно поздно --- около 200 лет назад, когда математика была уже достаточно развитой наукой.

Выдающийся немецкий математик Х. Хассе в одной из своих книг выражал в исторических замечаниях недоумение, почему у Евклида нет теоремы об однозначности разложения числа на простые множители, хотя у него есть теорема, что если произведение двух натуральных чисел делится на простое число p, то хотя бы одно из этих чисел делится на p. (Последнего нам было бы достаточно.) С нашей теперешней точки зрения, главное тем самым было сделано, и до однозначности разложения оставался только один шаг, уже не трудный. В доказательстве сформулированной теоремы (а значит, и в доказательстве однозначности разложения натурального числа на простые сомножители) не используется никакой "высокой науки", но оно не такое уж короткое; правда, попутно получаются еще кое-какие важные результаты. Позднее, уже за последний век, было придумано другое доказательство, более короткое, но не дающее ничего сверх доказываемого утверждения. Но и оно не такое уж короткое и простое; я сомневаюсь, чтобы в школе (исключая спецшколы или спецклассы) на него можно было тратить время. Но это относится к школе, а Евклида даже и более длинное рассуждение не испугало.

Хассе полагал, что древним грекам однозначность разложения на простые множители все-таки была известна. Иное мнение высказано в учебнике по теории чисел, написанном другим выдающимся ученым --- английским математиком Г. Харди --- совместно с его соотечественником Э. Райтом. Они указывают, что древнегреческий математик попросту был бы не в состоянии сформулировать теорему об однозначности разложения натурального числа на простые множители, потому что у него не было алгебраических обозначений. Ведь если я говорю, что "разложение на простые сомножители единственно", то это не полная формулировка, а скорее сокращенное название результата. А в чем же, собственно, он состоит? Вот в чем. Пусть в дополнение к (7) имеется еще одно разложение m на простые множители:

m=*...*

(qi --- простые, qi qj при i j, li --- натуральные). Тогда r=s, числа p1, ..., pr с точностью до порядка, в котором они пронумерованы, совпадают с q1, ..., qs и показатели при совпадающих простых сомножителях тоже совпадают: если pi=qj, то ki=lj. Попробуйте сформулировать (только сформулировать!) все это, не прибегая к буквенным обозначениям! А у Евклида, как указывают Харди и Райт, не было даже слова для обозначения произведения четырех и более множителей.

Я хочу еще немного остановиться на различии между числами и будильниками. Что различия имеются, это понятно даже людям, которые от математики далеки: им кажется, что математические объекты скорее напоминают снотворное. Но то различие между математическими объектами и будильниками, о котором я сейчас скажу, может показаться неожиданным. Рассмотрим пародию на арифметику, в которой "ареной действия" является множество2 M натуральных чисел вида 4k+1 с целыми k0. Других чисел, кроме таких, для нас сейчас как бы не существует. Множество M, как говорят, замкнуто относительно умножения --- это значит, что произведение любых двух его элементов снова принадлежит M. Действительно, сразу проверяется, что произведение двух чисел вида 4k+1 снова имеет вид 4k+1. Некоторые числа из M являются произведениями чисел из M, ни одно из которых не является единицей. Другие числа нельзя представить в таком виде; их естественно называть неразложимыми. Почти сразу же очевидно, что 9 --- неразложимое число. (В M имеется всего одно число, отличное от 1, которое меньше 9, --- это 5. Но 9 не делится на 5.) Проверим, что 49 тоже неразложимое число. В противном случае мы имели бы

49=(4a+1)(4b+1)=16ab+4(a+b)+1

с некоторыми натуральными a, b; отсюда
48=16ab+4(a+b),   12=4ab+(a+b)>4ab,   3>ab,

что возможно, лишь когда оба натуральных числа a, b равны 1 или когда одно из них равно 1, другое равно 2. Соответствующие произведения были бы 5* 5 или 5* 9; ни в том, ни в другом случае не получается 49. Аналогично доказывается неразложимость 21. С другой стороны, каждое разложимое число из M разлагается в произведение неразложимых чисел (последние, таким образом, играют в нашей пародийной "системе чисел" M такую же роль, какую играют простые числа среди всех натуральных чисел). Действительно, если m M --- разложимое число, то m=kl с некоторыми k, l M, причем k<m, l<m. Если оба числа k, l неразложимы, то m уже представлено в требуемом виде; если одно из них или они оба разложимы, то разложим его (их) на множители, и т. д. При этом рассматриваемые числа все время уменьшаются, так что рано или поздно этот процесс должен остановиться и мы получим разложение m на неразложимые множители. Это рассуждение --- точно такое же, каким доказывается, что любое составное натуральное число разлагается в произведение простых чисел; в этом отношении наша пародийная арифметика не отличается от обычной. А вот в каком она отличается:
441=212=9* 49,

причем 21, 9 и 49 --- неразложимые элементы M. Выходит, что "будильник" 441 можно разобрать на два одинаковых "колесика" 21, а можно --- на другие "колесики" 9 и 49.

Вы, вероятно, знаете доказательство иррациональности . А вот используя однозначность разложения на простые множители, ничего не стоит доказать в два слова, что если натуральное число m не является k-й степенью никакого натурального числа, то --- иррациональное число. Попробуйте сделать это! Вы увидите, насколько расширятся ваши возможности при использовании теоремы об однозначности разложения на простые множители --- теоремы, упоминание о которой может показаться занудным педантизмом. Так что, с одной стороны, я уже сказал, что за все приходится платить, но, с другой стороны, платить есть за что.

Говоря о построении математики как систематической науки, хочу отметить, что дедуктивное и систематическое построение --- это не одно и то же. В школе арифметика и алгебра излагаются, конечно, систематически, но нет и речи о том, чтобы их выводить дедуктивно из аксиом. А о геометрии по крайней мере объясняют, что ее в принципе можно строить дедуктивно, и поясняют это на примерах, так сказать, каких-то фрагментов геометрии. На самом деле дедуктивно можно построить не только геометрию, но, оставаясь в пределах школьного материала, и алгебру, и арифметику. Я приведу сейчас те аксиомы, на которых основана арифметика --- так называемые аксиомы Пеано. Сформулировал их примерно век назад итальянский математик Дж. Пеано. Такая поздняя формулировка аксиом арифметики --- своего рода исторический парадокс.

В этих аксиомах речь идет только о натуральных числах. Множество натуральных чисел обычно обозначают через . Это своего рода стандарт. Обычная латинская буква N может обозначать что угодно, а вот --- это обязательно множество натуральных чисел.

Среди натуральных чисел имеется одно особенное, которое выделяется с самого начала, --- так называемая единица, обозначаемая через 1. На самом деле это, конечно, та самая единица, которую вы все хорошо знаете, но в данный момент это просто какое-то специальное натуральное число, о котором кое-что будет сказано в аксиомах. Далее, в множестве натуральных чисел имеются различные операции, которые вы знаете: сложение, умножение, а в известных случаях там определено также вычитание и деление. Но если бы мы захотели перечислить в виде аксиом основные свойства этих операций, формулировка получилась бы слишком длинной. Пеано заметил, что можно воспользоваться одной-единственной операцией, с которой вы познакомились еще раньше, чем научились складывать, --- с переходом к следующему числу. Когда ребенок считает "один, два, три, ...", он как раз называет вслед за одним числом то число, которое за ним следует в ряду натуральных чисел. Освоившись со сложением, вы поняли, что число, следующее за x, --- это x+1, и поэтому операция перехода к следующему числу как бы отступила на второй план, став частным случаем сложения. Теперь нам предлагается как бы вернуться в детство и временно забыть о сложении, а считать основной исходной операцией операцию перехода к следующему числу. Конечно, раз пока нет сложения, то нехорошо обозначать число, следующее за x, через x+1. Но как-то его обозначить надо, хотя в детстве мы обходились без всяких обозначений. Обозначим его через x'. Итак, у нас имеется некое множество , называемое "множеством натуральных чисел", в нем особо выделен некоторый элемент 1 ("единица") и введена операция (отображение, функция), сопоставляющая каждому x некоторое число x' ("число, следующее за x"). При этом выполняются следующие аксиомы:

1. Единица не следует ни за каким натуральным числом, т. е. при всех x обязательно 1 x'.

2. Если x'=y', то x=y. Можно сказать, что отображение -> , при котором каждое x переходит в x', никогда не переводит различные числа в одно.

3. Самая сложная аксиома --- аксиома индукции. Пусть M --- такое подмножество, что

а) 1 M (M содержит единицу);

б) если x M, то и x' M (вместе с каждым числом M содержит также и следующее за ним число).

Тогда M=.

Вот и все. Гораздо короче и проще, чем аксиомы геометрии. И на такой, казалось бы, скудной основе можно построить всю арифметику! Определить сложение и другие арифметические действия над числами, ввести отрицательные, рациональные, иррациональные и комплексные числа, доказать основные правила действий... Но ясно, что это не может быть сделано в два слова. Надо пройти путь примерно такой же длины, как в геометрии, пока доберешься, скажем, до олимпиадных задач. В общеобразовательной школе этого, конечно, нет и никогда не будет.

Тут есть еще одно обстоятельство, о котором надо сказать. Арифметика ведь строится не только на базе этих трех аксиом. При этом используется логика --- как же иначе? И используются кое-какие сведения о множествах --- множества ведь фигурируют в наших исходных формулировках. Между прочим, и логику, и требуемые сведения о множествах тоже можно изложить аксиоматически, но это будет уже посложнее аксиом Пеано.


1Можно придраться точно таким же образом, как это будет сейчас сделано, к абзацу, начинающемуся со слов "Так что если бы я хотел настаивать на обратном утверждении". Но в том же абзаце объяснено, что дальнейшее не зависит от обсуждаемого в нем утверждения, так что с точки зрения полноты доказательства (2) этого абзаца не существует.

2Ниже это слово встречается несколько раз. Вероятно, оно вам уже знакомо, но я все же напомню, что множество --- это совокупность (система, класс, собрание, коллекция) каких-нибудь объектов (не обязательно чисел). Наглядно можно представить себе, что эти объекты как бы сложены в мешок, причем он прозрачный: мы как бы "видим" сложенные в мешок предметы и можем говорить не только о мешке как о некоем едином целом, но и о его содержимом. Примеры: множество натуральных чисел, множество слушателей в аудитории. В отличие от употребления слова "множество" в обычном языке, в математике при его употреблении вовсе не имеют в виду, что в множество входит много объектов. Если объект a входит в множество A, то говорят, что a является элементом A, a принадлежит A, и пишут a A. Подмножество множества A --- это такое множество B, все элементы которого принадлежат A, т. е., так сказать, B --- "часть" A (только слово "часть" здесь употребляется в расширенном смысле: не исключено, что B=A). Например, множество четных натуральных чисел --- подмножество множества всех натуральных чисел. Вместо того чтобы говорить словами "B --- подмножество A", пишут B A.

Следующий раздел

На головную страницу