Геометрия сферических многообразий

Независимый Московский Университет
Осень 2009

Объявление: Экзамен по курсу будет приниматься 10 декабря в 17:30 в комнате 308. Экзамен устный, и состоит из практической и теоретической частей. Для сдачи практической части нужно решить 7 задач из списка задач к экзамену. Для сдачи теоретической части необходимо разобрать (с полными доказательствами и всеми деталями) один из вопросов к экзамену. Задачи можно сдавать также после лекций 26 ноября и 3 декабря. Удачи!
Преподаватель: Валентина Кириченко
e-mail: valya dot mccme at ru
Занятия проходят по четвергам в 17:30 в комнате 308
English version
Учебные материалы
Рекомендуемая литература
План занятий

Основная цель курса - рассмотреть наиболее часто встречающиеся в математике примеры сферических многообразий (такие как многообразия флагов и торические многообразия) и изучить их геометрию (например, описать умножение в кольце когомологий). Мы увидим, что многие геометрические инварианты сферических многообразий красиво выражаются в терминах многогранника Ньютона, который можно связать с многообразием. Первоначально теория многогранников Ньютона была развита для торических многообразий, но оказалось, что её можно перенести и на более общие многообразия. Это даёт единый подход к изучению геометрии многих, на первый взгляд очень разных, многообразий (например, кольца когомологий многообразий полных флагов и торических многообразий имеют очень похожие описания через многогранники).

Программа:

Учебные материалы:

Список рекомендуемой литературы и полезные ссылки:
Этот список пополняется каждую неделю.

  1. И. Н. Бернштейн, И. М. Гельфанд, С. И. Гельфанд, Клетки Шуберта и когомологии пространств G/P, УМН, 28:3(171) (1973), 3–26
    В этой статье объясняется, какие многочлены соответствуют циклам Шуберта в представлении Бореля. Есть также полезное введение к английскому переводу.
  2. M. Brion, Lectures on the geometry of flag varieties, Topics in cohomological studies of algebraic varieties, 33--85, Trends Math., Birkhauser, Basel, 2005
    Содержит много полезных фактов про многообразия флагов.
  3. M. Brion, Varietes spheriques, записки к курсу
  4. M. Brion, Spherical varieties: an introduction, Progr. Math., vol. 80, Birkhaeuser, Boston, 1989, pp. 11–26.
    В качестве приложения общих результатов описывается геометрия пространства полных коник.
  5. M. Brion, Groupe de Picard et nombres caracteristiques des varietes spheriques, Duke Math J. 58, no.2 (1989), 397-424
  6. Ф. Гриффитс, Дж. Харрис, Принципы алгебраической геометрии. В 2 томах. М., Мир, 1982
  7. M.Demazure, Desingularization des Varietes de Schubert generalisees, Ann. Sc. Ec. Norm. Super. 7 (1974) 53-88. В этой статье также объясняется, какие многочлены соответствуют циклам Шуберта в представлении Бореля, но подход существенно отличается от подхода Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда.
  8. S. Kleiman, D. Laksov, Schubert Calculus, Amer. Math. Monthly, 79 (1972), 1061-1082
    Элементарное введение в исчисление Шуберта на грассманнианах.
  9. A. Kirillov, S. Fomin, The Yang-Baxter equation, symmetric functions, and Schubert polynomials, Discrete Mathematics, 153 (1996), 123-143
    Комбинаторное описание мономов в многочлене Шуберта через приведённые диаграммы (pipe-dreams).
  10. C. De Concini and C. Procesi, Complete symmetric varieties I, Lect. Notes in Math. 996, Springer, 1983, 1-43
    Конструкция чудесных компактификаций для симметрических пространств. Приводится алгоритм вычисления индексов пересечения дивизоров на чудесных компактификациях, обобщающий соответствующий алгоритм для торичесих многообразий.
  11. C. De Concini and C. Procesi, Complete symmetric varieties II Intersection theory, Advanced Studies in Pure Mathematics 6 (1985), Algebraic groups and related topics, 481-513
    Построена теория пересечений (кольцо условий) на симметрических пространств. Позднее Де Кончини заметил, что все результаты дословно переносятся на произвольные сферические однородные пространства.
  12. L. Manivel, Symmetric functions, Schubert polynomials and degeneracy loci. SMF/AMS Texts and Monographs 6, 2001; Глава 3
    Очень интересная и хорошо написанная книга. В 3-ей главе излагается геометрия грассманнианов и многообразий полных флагов.
  13. Kiumars Kaveh, Note on the cohomology ring of spherical varieties and volume polynomial, arXiv:math/0312503v2 [math.AG]
  14. Б.Я. Казарновский, Многогранники Ньютона и формула Безу для матричных функций конечномерных представлений, Функц. анализ и его прил. 21:4 (1987), 73-74
  15. Friedrich Knop, The Luna-Vust theory of spherical embeddings, Proceedings of the Hyderabad Conference on Algebraic Groups (Hyderabad, 1989), 225-249, Manoj Prakashan, Madras, 1991
    Классификация сферических многообразий через вееры. Объясняется, почему любая эквивариантная компактификация однородного сферического пространства содержит конечное число орбит.
  16. Д.А. Тимашёв, Эквивариантные компактификации редуктивных групп, Мат. Сб., 2003, 194:4, 119-146
    По представлениям редуктивной группы строятся её проективные компактификации. В случае комплексного тора, это совпадает с конструкцией проективных торических многообразий по многогранникам Ньютона.
  17. А.Г. Хованский, Многогранники Ньютона и торические многообразия, Функц. анализ и его прил., 11:4 (1977), 56–64
  18. А.Г. Хованский, Многогранники Ньютона и род полных пересечений, Функц. анализ и его прил., 12:1 (1978), 51–61
  19. И. Р. Шафаревич, Основы алгебраической геометрии МЦНМО, 2007; глава про индексы пересечения
План занятий