В. Светящуюся точку на плоскости можно полностью закрыть тремя окружностями, чтобы свет от нее никуда не шел. Сколько шаров надо, чтобы закрыть светящуюся точку в пространстве?
О. Четырех шаров достаточно, трех не хватает.
Как закрыть точку четырьмя шарами: пусть точка расположена в центре правильного тетраэдра. Опишем окружности около всех его граней и рассмотрим четыре бесконечных конуса с вершиной в этой точке, направляющими которых будут построенные окружности. Ясно, что эти конусы покрывают все пространство. Теперь впишем в каждый из этих конусов по шару --- тогда, очевидно, эти шары будут полностью затенять нашу светящуюся точку. Это еще не совсем то, что нужно, поскольку построенные шары могут пересекаться. Чтобы доказать, что точку можно затенить четырьмя непересекающимися шарами, заметим, что если какой-то из шаров подвергнуть гомотетии с центром в нашей точке, затеняемая им часть пространства не изменится. Если теперь подвергнуть шары таким гомотетиям с различными большими коэффициентами, то ясно, что можно добиться того, что они станут непересекающимися.
Докажем, что трех шаров заведомо не хватит. В самом деле, заметим, что точку, лежащую вне шара, всегда можно отделить от шара плоскостью (так, чтобы шар лежал по одну сторону от плоскости, а точка --- по другую), и что эта плоскость затеняет заведомо большую часть пространства, чем шар. Значит, если бы удалось затенить точку в пространстве с помощью трех шаров, то тем более это было бы возможно сделать с помошью трех плоскостей. А это последнее невозможно по следующей причине: три плоскости ограничивают в пространстве, вообще говоря, трехгранный угол, поскольку у любого многогранника не менее четырех граней; если теперь соединить отрезком вершину получающегося трехгранного угла со светящейся точкой и продлить этот отрезок за светящуюся точку, то получим луч (и в геометрическом, и в житейском смысле), не затеняемый тремя плоскостями. Вырожденные случаи (когда фигура, ограниченная тремя плоскостями, не является трехгранным углом) разберите самостоятельно.
