В. Подскажите, пожалуйста, элементарное (без ссылки на теорему Джекобсона) доказательство того, что кольцо с тождеством x^3=x коммутативно.
О. Вот какое доказательство этого факта сообщил нам Владимир Щиголев.
Итак, пусть A --- ассоциативное кольцо (не обязательно с единицей), в котором a^3=a для любого a --- элемента A. Требуется доказать, что кольцо A коммутативно.
0) В этом кольце выполнено тождество 6a=0. В самом деле, 8a^3 равно, с одной стороны, 8a, а с другой стороны (2a)^3=2a.
Введем обозначения: X(a,b)=aab+aba+baa, Y(a,b)=abb+bab+bba.
1) Имеем
0=(a+b)^3-a^3-b^3=X(a,b)+Y(a,b)
для любых a и b, откуда
0=X(a,2b)+Y(a,2b)=2X(a,b)+4Y(a,b);
сопоставляя эти два равенства, получаем 2X(a,b)=0.
2) 0=X(a^2,a)+Y(a^2,a)=3a^5+3a^4=3a+3a^2.
3)
0=3(a+b)^2+3(a+b)-(3a^2+3a)-(3b^2+3b)=3(ab+ba).
Так как 6ab=0, отсюда следует, что 3[a,b]=0 (квадратные скобки обозначают коммутатор).
4)
[a,b]=[a^3,b]=a^2[a,b]+a[a,b]a+[a,b]a^2=X(a,[a,b]).
В силу (1) имеем 2[a,b]=0.
5) Сравнивая (4) с (3), получаем [a,b]=0.
