На главную страницу

В. Лежит ли группа SO(3) в 4-мерном линейном подпространстве пространства всех матриц 3х3? Если не 4-х, то какая размерность минимальная?

О. Минимальная размерность равна 9 (иными словами, ни в каком нетривиальном подпространстве она не лежит). Вот доказательство.

Покажем сначала, что SO(3) не лежит ни в каком нетривиальном векторном подпространстве пространства всех матриц. В самом деле, пусть A --- линейная оболочка множества всех ортогональных 3x3-матриц (т.е. порожденное этими матрицами векторное пространство). Тогда пространство A замкнуто относительно умножения матриц и тем самым является алгеброй над R. Трехмерное пространство, в котором действуют наши ортогональные матрицы, обозначим через V. Это --- представление алгебры A, причем представление неприводимое (поскольку не существует подпространства, инвариантного относительно всех ортогональных матриц). Пусть D=EndA(V); поскольку матрица, коммутирующая со всеми ортогональными матрицами, может быть только кратным единичной, имеем D=R. Теперь применим теорему плотности Джекобсона (или, если угодно, теорему о двойном централизаторе); в нашей ситуации она гласит, что EndD(V)=A. Так как D=R, получаем, что A совпадает со всей алгеброй 3x3-матриц, что и требовалось доказать.

Теперь покажем, что SO(3) не может лежать и в нетривиальном аффинном подпространстве. Заметим для начала, что линейная оболочка аффинного подпространства размерности d имеет размерность d или d+1, так что, в силу доказанного выше, SO(3) не может лежать в аффинном подпространств размерности <8. Осталось предположить, что SO(3) лежит в аффинном подпространстве размерности 8;, и привести этот случай к противоречию.

Заметим, что всякая аффинная гиперплоскость в пространстве квадратных матриц есть не что иное, как множество таких матриц X, что Tr(XA)=c, где A - фиксированная ненулевая матрица, c - фиксированное число, причем матрица A определяется этой гиперплоскостью однозначно с точностью до пропорциональности. Значит, из наших предположений следует, что существуют такие A и c, что Tr(XA)=c для всех X из SO(3). Зафиксируем произвольную матрицу Y из SO(3); тогда Tr(XYA)=c для всех X из SO(3), так что матрица YA должна быть пропорциональна матрице A для всякой Y из SO(3). Это, однако же, для ненулевых A невозможно (например, потому, что оператор A обязан иметь инвариантную прямую или плоскость, а после левого умножения на подходящий ортогональный оператор Y эта прямая или плоскость инвариантной быть перестанет).


Rambler's Top100