В. Как построить треугольник по стороне, противолежащему углу и длине биссектрисы, проведенной к данной стороне?
О.Приведенное ниже решение нам сообщил С.В.Маркелов (при окончательном оформлении использована также книга Luis Lopes, "Manuel de construction de triangles", QED Texte, Boucherville, Quebec, 1996.)
Итак, пусть у искомого треугольника ABC даны сторона BC, угол BAC и длина l биссектрисы, проведенной к стороне BC.
По этим данным можно очевидным образом построить сторону BC, окружность, описанную около искомого треугольника, а также точку D, делящую пополам ту из дуг BC, что не содержит точки A.
Отложим от точки C отрезок CE=l/2 перпендикулярно CD. Построим окружность с центром в точке D радиуса CE+DE. Точка ее пересечения с описанной окружностью и будет вершиной A.
Для доказательства того, что это построение верно, надо только проверить, что DE+DC=AD; сделаем это.
Биссектриса угла A, очевидно, проходит через D. Обозначим через S точку пересечения AD и BC; положим SD=z.
Заметим, что z(l+z)=CD2. В самом деле, если обозначить через U точку на окружности, диаметрально противоположную точке D, а через V - проекцию точки D на BC, то из подобия прямоугольных треугольников UAD и SVD имеем z(s+z)=DU*DV, а из подобия прямоугольных треугольников DCU и DVC имеем DU*DV=CD2.
Построим теперь окружность с центром E и радиусом EC; отрезок DC будет ее касаться. Обозначим через M и N точки пересечения прямой DE с этой новой окружностью (N - точка, ближайшая к D). По известному свойству хорд и секущих имеем CD2=DN*DM=DN*(DN+l), так что DN=z, DM=s+z=AD; с другой стороны, DM=DE+EM=DE+EC. Все доказано.
