В. Не могли бы вы рассказать о методе интегрирования по углам в геометрии?
О. Слова "метод интегрирования по углам" можно, конечно, понимать по-разному; судя по всему, имелся в виду способ решения геомтерических задач, основанный на следующей лемме:
Лемма. Даны два набора отрезков a1, a2. ... an и b1, b2 ... bm, причем сумма длин проекций отрезков первого набора на любую прямую не больше суммы длин проекций отрезков второго набора на ту же прямую. Тогда сумма длин отрезков первого набора не больше суммы длин отрезков второго набора.
Доказательство леммы. Зафиксируем раз и навсегда какое-то направление на плосоксти (назовем его "вертикальным". Тогда, если вектор имеет длину a и образует с вертикальным направлением угол "альфа", а прямая образует с вертикальным направлением угол "фи" (будем измерять углы так, чтобы они лежали на отрезке от -пи/2 до пи/2), то длина проекции вектора на эту прямую равна a*|cos(фи-альфа)|. Если проинтегрировать эту длиу от -пи/2 до пи/2, то независимо от угла "альфа" получится 2a. Стало быть, длина любого вектора равна половине интеграла от длин его проекций; так как, с одной стороны, интеграл суммы равен сумме интегралов, а с другой стороны, если функция f не превосходит функции g, то интеграл от f не превосходит интеграла от g, лемма отсюда следует.
Вооружившись этой леммой, можно решать разные задачи:
1. Дано несколько выпуклых многоугольников, причем нельзя провести прямую так, чтобы она не пересекала ни одного многоугольника и по обе стороны от нее лежал хотя бы один многоугольник. Докажите, что эти многоугольники можно заключить в многоугольник, периметр которого не превосходит суммы их периметров.
2. Докажите, что если один выпуклый многоугольник лежит внутри другого, то периметр внутреннего многоугольника не превосходит периметра внешнего.
3a. (Barbier's Theorem) Длина проекции замкнутой выпуклой кривой на любую прямую равна 1. Докажите, что ее длина равна Pi.
3б(*) (Stanley Rabinovitz, stan@mathpro.com). Дан многочлен f(x,y):
(x2+y2)4 - 45 (x2 + y2)3 - 41283(x2+y2)2 + 7950960x2 + 7950960y2+ 16(x2 - 3y2)3 + 48 (x2+ y2) (x2- 3y2)2 + (x2 - 3 y2)x(16(x2+ y2)2- 5544x2 - 5544y2 + 266382) - 7203Докажите, что его график (множество пар (x,y), для которых f(x,y)=0) является выпуклой кривой, проекция которой на любую прямую равна 1.
3в(*). Какие существуют ли многочлены f(x,y) степени меньше 8 с действительными коэффициентами, график котороых есть выпуклая кривая, длина проекции которой на любую прямую равна 1?
4. Сумма длин нескольких векторов на плоскости равна L. Докажите, что из этих векторов можно выбрать некоторое число векторов (может быть, один) так, что длина их суммы будет не меньше L/"пи".
5. Докажите, что если длины всех сторон и диагоналей выпуклого многоугольника меньше d, то его периметр меньше "пи"*d.
См. параграф 6 в главе 13 книги
Прасолов В.В. "Задачи по планиметрии." 4-е изд., дополненное. Москва, Изд-во Московского центра непрерывного математического образования, 2001. 584 с. ISBN 5-900916-82-0
Полнотекстовая версия данной книги доступна через интернет, см. здесь.
Заметим, что аналогичную лемму можно доказать и для векторов в пространстве, только интегрировать тогда придется не по отрезку, а по сфере, что чуть дальше от школьной программы.
