В. Справедливо ли следующее утверждение: "Если некоторая степень (итерация) непрерывного отображения в банаховом пространстве имеет неподвижную точку (не обязательно единственную), то и само отображение имеет неподвижную точку"?
О. Нет, это утверждение неверно.
Например, отображение комплексной плоскости в себя, заданное формулой z→z+ez, неподвижных точек, очевидно, не имеет, а у его квадрата неподвижные точки, как легко проверить, есть (бесконечно много).