В. Справедливо ли следующее утверждение (обратное к теореме Брауэра): "Если для любого непрерывного отображения f:X->X (Х --- подмножество n-мерного пространства) существует неподвижная точка, то множество Х есть n-клетка (гомеоморфно некоторому n-мерному шару)"?
О. Нет, это утверждение неверно.
Пусть, например, X --- вещественная проективная плоскость. Тогда всякое непрерывное отображение из X в X обязано иметь неподвижную точку, что вытекает из "теоремы Лефшеца о неподвижных точках"; между тем проективная плоскость не гомеоморфна никакой клетке (поскольку, например, она неодносвязна) и при этом может быть вложена в евклидово пространство (например, в четырехмерное).
Теорема Лефшеца, которой мы воспользовались, формулируется следующим образом.
Пусть X --- компактный полиэдр и f:X->X --- непрерывное отображение. Тогда для каждого целого неотрицательного числа i отображение f индуцирует линейное отображение l_i:H_i(X)->H_i(X), где через H_i(X) обозначено векторное пространство i-мерных гомологий пространства X с вещественными коэффициентами. Обозначим через t_i след отображения l_i. Если теперь знакопеременная сумма
t_0-t_1+t_2-t_3+t_4-...
отлична от нуля, то отображение f обязано иметь неподвижную точку.
Доказательство этой теоремы можно найти в любом достаточно подробном курсе алгебраической топологии.
В нашем случае (если X --- проективная плоскость) пространство H_0(X) одномерно и отображение l_0 явялется тождественным (для любого f), а все прочие H_i(X) суть нули. Поэтому t_0=1, все остальные t_i суть нули, и наша знакопеременная сумма равна единице.
Проективная плоскость --- не единственный возможный контрпример; если, скажем, X --- стягиваемый компактный полиэдр, то всякое непрерывное отображение f:X->X имеет неподвижную точку (это сразу следует из той же теоремы Лефшеца), но при этом среди таких полиэдров есть много негомеоморфных клеткам (например, объединение двух отрезков, пересекающихся по внутренним точкам).
