В.
У меня есть холодильник прямоугольной формы, можно ли
конформным отображением перевести его в квадратный
холодильник?
P.S. Правильно ли я понимаю, что вершины должны перейти в вершины?
О. Если не требовать, чтобы вершины переходили в вершины, то конформное отображение, переводящее прямоугольник в квадрат, существует по теореме Римана об отображении (всякие две односвязные области в комплексной плоскости, отличные от самой комплексной плоскости, конформно эквивалентны).
Если же хотеть, чтобы вершины перешли в вершины, то такого отображения не существует. Вот доказательство.
Пусть дан прямоугольник ABCD, не являющийся квадратом, и пусть существует его конформное отображение на квадрат A'B'C'D', переводящее A в A', B в B' и т.д. Отразим прямоугольник симметрично относительно прямой CD, а квадрат --- симметрично относительно прямой C'D', как это изображено на рисунке.
Согласно принципу симметрии для конформных отображений (см., например, первый том "Введения в комплексный анализ" Б.В.Шабата), наше конформное отображение можно продолжить до конформного отображения AA1B1B на A'A'1B'1B' таким образом, что точки, симметричные относительно CD, будут переходить в точки, симметричные относительно C'D'; в частности, прямоугольник DA1B1C будет отображаться на квадрат D'A'1B'1C'. Далее, отразим DA1B1C симметрично относительно прямой CB1, а D'A'1B'1C' --- симметрично относительно прямой C'B'1 и опять продолжим отображение по принципу симметрии (см. тот же рисунок: прямоугольник CB1A2B2 отображается на квадрат C'B'1A'2B'2), и т.д. Продолжая этот процесс до бесконечности, получим конформное отображение комплексной плоскости на комплексную плоскость, отображающее прямоугольник на квадрат. Однако же, как известно, всякое конформное отображение комплексной плоскости на комплексную плоскость имеет вид f(z)=az+b, где a и b --- константы (см. тот же учебник Шабата), и, следовательно, переводит всякую фигуру в подобную ей, а наши прямоугольник и квадрат не подобны --- противоречие!
