В. Может ли в какой-нибудь группе Галуа существовать подгруппа конечного индекса, не являющаяся открытой?
О. Да, может. Мы сначала приведем пример проконечной группы, обладающей не-открытой подгруппой конечного индекса, а затем покажем, что эта группа реализуется как группа Галуа некоторого расширения поля рациональных чисел.
Пример группы. Обозначим через G группу, являющуюся произведением счетного числа экземпляров группы из двух элементов (с топологией прямого произведения --- "тихоновской"); множество индексов обозначим I. Очевидно, что G компактна и вполне несвязна (т.к. она гомеоморфна канторову множеству). Всякая открытая подгруппа в G (как и в любой топологической группе) является, очевидно, замкнутой; с другой стороны, множество замкнутых подгрупп конечного индекса в группе G находится, ввиду двойственности Понтрягина, во взаимно-однозначном соответствии с множеством конечных подгрупп в группе характеров группы G; эта группа характеров дискретна и изоморфна прямой сумме счетного числа экземпляров группы из двух элементов. Конкретно, всякий непрерывный характер задается конечным подмножеством $S\subset I$; он ставит в соответствие элементу группы сумму его "координат" (вычетов по модулю 2) с номерами, соответсвующими элементам S.
С другой стороны, группу G можно рассматривать как векторное пространство над полем из двух элементов; при этом подгруппы индекса 2 находяится во взаимно однозначном соответствии с линейными функционалами. Легко видеть, что на G имеются линейные функционалы, не являющиеся суммами "координатных", так что существуют и подгруппы индекса 2, не являющиеся открытыми.
Реализация этой группы как группы Галуа. Обозначим через Q, как водится, поле рациональных чисел, а через K --- поле, полученное присоединением к Q квадратных корней из всех простых чисел. Рассмотрим следующее отображение из группы Галуа G(K/Q) в группу G, реализованную как множество последовательностей из чисел 1 и -1: автоморфизму g ставится в соответствие последовательность, в которой на n-ом месте стоит 1, если g сохраняет квадратный корень из n-ого простого числа, и -1 в противном случае. Легко видеть, что это отображение является изоморфизмом топологических групп.
