В. Пусть Г - жорданова кривая (замкнутая кривая без самопересечений), разделяющая комплексную плоскость на 2 области: G_огр и G_неогр. Далее, пусть функция f непрерывна на всей расширенной плоскости и при этом голоморфна в областях G_огр и G_неогр. Если кривая Г спрямляема, то отсюда следует, что f константа. Сохраняется ли заключение, если Г не является спрямляемой?
О. Ответ: нет, не следует, в общем случае f являться константой не обязана.
Пример: возьмем в качестве $\Gamma$ жорданову кривую положительной лебеговой меры (тем самым эта кривая неспрямляема, а ограничиваемая ею область неквадрируема). Положим теперь $f(z)= \int_{\Gamma} dA(t)/t-z$ (где $dA$ --- мера Лебега на $A$). Нетрудно проверить, что эта функция непрерывна на всей комплексной плоскости (и непостоянна на $\Gamma$), голоморфна в дополнении к $\Gamma$, а также стремится к нулю при $z$, стремящемся к бесконечности (так что она продолжается на расширенную комплексную плоскость до функции, голоморфной и в бесконечности). Этот пример принадлежит Данжуа.
