В. Как формулируется теорема Наполеона и где можно найти ее доказательство?
О. Формулировка теоремы Наполена такова. Пусть ABC - произвольный треугольник, и пусть на его сторонах построены равносторонние треугольники ABX, BCY и CAZ (точки X, Y и Z лежат вне треугольника ABC). Тогда центры равносторонних треугольников ABX, BCY и CAZ являются вершинами равностороннего треугольника.
Мы приведем здесь два доказательства этой теоремы. Сначала - геометрическое доказательство, взятое нами из книги Г.С.М.Коксетера и С.Л.Грейтцера "Новые встречи с геометрией" (М., "Наука", 1978).
Лемма. Окружности, описанные около треугольников ABX, BCY и CAZ, пересекаются в одной точке.
Доказательство леммы. Пусть P - точка пересечения окружностей, описанных около треугольников BCY и CAZ. Предположим, что точка P лежит внутри треугольника ABC (другие случаи оставляются читателям в качестве упражнения). Тогда из свойства вписанного четырехугольника вытекает, что углы BPC и CPA равны 120 градусам. Следовательно, угол APB также равен 120 градусам, и точка P лежит также на окружности. описанной около треугольника ABX.
Доказательство теоремы. Обозначим через K, L и M центры равносторонних треугольников ABX, BCY и CAZ соответственно. Как известно, прямая, соединяющая центры пересекающихся окружностей, перпендикулярна их общей хорде. Отсюда следует, что KL перпендикулярно BP, LM перпендикулярно CP и MK перпендикулярно AP. В доказательстве леммы мы установили, что углы APB, BPC и CPA равны 120 градусам (в случае, если точка P лежит внутри треугольника ABC; в противном случае нужно рассуждать чуть-чуть по-другому). По свойству углов с перпендикулярными сторонами отсюда вытекает, что углы KLM, LMK и MKL равны шестидесяти градусам, что и требовалось доказать.
Второе доказательство теоремы Наполеона использует комплексные числа. Оно проще геометрического доказательства (по крайней мере для тех, кто знаком с комплексными числами), но зато менее красиво.
Второе доказательство теоремы. Выберем координаты на комплексной плоскости таким образом, чтобы вершины A и B треугольника ABC соответствовали числам 0 и 1; пусть вершина C соответствует числу z.
Если обозначить через c комплексное число, аргумент которого равен 30 градусам, а модуль равен двум, деленным на корень из трех (секансу 30 градусов), то точкам K, L и M (обозначения такие же, как в первом доказательстве) соответствуют комплексные числа u=cz/2, v=z+c(1-z)/2 и w=1-c/2 соответственно.
На этом этапе уже можно завершить доказательство прямым (хотя и несколько утомительным) вычислением, обозначив z=x+iy и непосредственно выразив модули разностей чисел u, v и w через x и y, но лучше рассуждать по-иному. Именно, заметим, что точки, соответствующие комплексным числам u, v и w, являются вершинами равностороннего треугольника тогда и только тогда, когда отношение (v-u)/(w-u) имеет модуль 1, а аргумент 60 (или -60) градусов. Нетрудно видеть, что в нашем случае это отношение равно
(2c-2)z-c
---------.
cz+c-2
Легко проверить, что
(2c-2) c
------ = --- =a,
c c-2
где a - число с модулем единица и аргументом 60 градусов (удобнее всего проверить это геометрически, изобразив на комплексной плоскости числитель и знаменатель). Стало быть, и отношение (v-u)/(w-u) равно a, что и требовалось.
