В. Имеет ли предел последовательность an=1/(n3sin(n))?
О. Ответ на этот вопрос науке на данный момент неизвестен.
Именно, пусть x - положительное действительное число. Его мерой иррациональности называется нижняя грань таких чисел m, что неравенство
0<|x-(p/q)|<1/qm
имеет не более чем конечное число решений в натуральных
числах p и q (иными словами, чем больше мера
иррациональности, тем "лучше" число x приближается
рациональными числами). (Если таких чисел вообще нет, то говорят,
что мера иррациональности бесконечна.)
Например, известная теорема Лиувилля
показывает, что мера иррациональности у любого алгебраического
числа обязательно конечна (по этому поводу можно сказать и
больше; см. здесь).
Чтобы ответить на наш вопрос, надо сравнить меру иррациональности числа "пи" (будем обозначать его П) c числом 4. Именно, верны следующие утверждения:
1. Если мера иррациональности числа П меньше 4, то последовательность сходится (к нулю).
2. Если мера иррациональности числа П больше 4, то последовательность расходится.
(А если она равна 4, то такой подход не дает ответа.)
В самом деле, докажем утверждение 1. Из его условия следует, что существует число k<4, для которого неравенство
0<|x-(p/q)|<1/qk
имеет не более чем конечное число решений. Покажем, что из этого
следует, что |1/(n3sin(n))|=O(1/n4-k).
В самом деле, для всякого натурального числа n выберем такое
натуральное число m, что |n-m*П| не
превосходит П/2. Тогда
|sin(n)|=|sin(n-m*П)|>|n-m*П|=m*|n/m-П|.
Ввиду условия получаем, что для всех m, кроме конечного числа
(стало быть, и для всех n, кроме конечного числа) имеем
|n/m-П|>=1/mk, откуда
|sin(n)|>m*|n/m-П|>=1/mk-1>C/nk-1,
где C - некоторая константа (отношения n/m ограничены,
поскольку при больших n они мало отличаются от
числа П).
Следовательно, для всех n,
начиная с некоторого, имеем
|n3sin(n)|>C*n4-k. Поскольку по
условию 4-k>0, отсюда все и следует.
Доказательство утверждения 2 аналогично.
К сожалению, на данный момент сравнить меру иррациональности числа П c четверкой не удается: пока что доказано лишь, что она не превосходит 8.0161 (так что последовательность 1/n9sin(n) уж точно сходится).
Этот ответ прислал нам читатель нашего сайта Максим Алексеев, за что мы ему глубоко признательны.
