В.Для треугольника верна теорема Эйлера: расстояние между центрами вписанной и описанной окружностями не зависит от сторон треугольника и выражается через радиусы этих окружностей. Можно ли сказать что-нибудь аналогичное, если треугольник заменить на четырехугольник? Можно ли расстояние между центрами вписанной и описанной окружностями четырехугольника выразить, не используя стороны этого четырехугольника?
О.Да, такая формула существует. Именно, если четырехугольник является одновременно вписанным и описанным (разумеется, не все четырехугольники таковы), то формула, связывающая радиусы вписанной и описанной около этого четырехугольника Понселе окружностей и расстояние между их центрами, выглядит так (R --- радиус описанной окружности, r --- радиус вписанной):
R - 2 R r - 2 R d - 2 r d + d = 0
Ее можно записать также в виде:
1 1 1
-------- + -------- = ----
2 2 2
(R + d) (R - d) r
или так:
2 2 2 2 2 2
(R - d ) = 2 r (R + d )
или так:
4
(R + r + d) (R + r - d) (R - r + d) (R - r - d) = r
Формулу впервые доказал Штейнер (Steiner) в 1827 году (именно в последнем виде), см. [1].
Доказательство на русском языке есть в книге [2]. Это же доказательство имеется в неработающей базе данных "Задачи" http://zadachi.mccme.ru. Когда и если она заработает, поищите на ключевые слова "Эйлер" и "Понселе".
Заметим, что если существование такой формулы уже считается доказанным, то вывести формулу несложно"--- достаточно рассмотреть трапецию, описанную и вписанную в те же 2 окружности.
Рекомендуем также статью [3], в которой приведено много других интересных фактов о конфигурации Понселе (многоугольник, вписанный в окружность и описанный около окружности).
[1] Steiner, J., параграф 26.57 in "Aufgaben und Lehrsatze, erstere aufzulosen, leztere zu beweisen." J. reine angew. Math. 2, 289, 1827.
[2] Яглом И.М., "Геометрические преобразования", Москва, 1956, том II, задача 220(б) (стр. 192)
[3] Заславский А. "О вписанно-описанных многоугольниках.", журнал Квант номер 2 за 1998 год (через некоторое время, может быть, появится в электронном виде на http://kvant.mccme.ru).
