На главную страницу

В. Пусть (x_n) - последовательность векторов банахова пространства B. Предположим, что система (x_n) полная (её замкнутая линейная оболочка совпадает с B) и топологически независимая (каждый вектор не принадлежит замкнутой линейной оболочке остальных). Легко видеть, что тогда для (x_n) существует единственная биортогональная система непрерывных линейных функционалов (f_n). Можно ли утверждать, что система (f_n) "тотальна" (для любого $x \in B$ из $f_n(x) = 0 \forall n$ следует $x=0$) ?

О. Нет, система $(f_n)$ тотальной быть не обязана. Самый простой пример, пожалуй, такой. Пусть $B=\l_2$ (гильбертово пространство последовательностей, у которых сумма квадратов конечна), и пусть $(e_n) (n=1,..,\infty)$ - стандартный ортонормированный базис (т.е. у $e_n$ единичка на $n$-ом месте и нули на остальных). Положим $x_n=\sum_{k=1}^n (1/2^k) e_k$. Ясно, что система $(x_n), n=1,..,\infty$ полна (поскольку любой $e_n$ лежит в ее линейной оболочке). Легко проверяется, что биортогональная к ней система $(f_n)$ такова: $f_n=2^n e_n - 2^{n+1} e_{n+1}$. Положим $x=\sum_{k=1}^\infty (1/2^k) e_k = \lim x_n$; тогда, очевидно, $(x,f_n)=0$ для всех $n$.


Rambler's Top100