мцнмо Математические кружки МЦНМО

Олимпиады и Математика

Методические материалы и полезные ссылки.
  • Рекомендации
  • Кружок в МЦНМО, 8-11 классы
  • Спецматематика в `Интеллектуале', 8-10 класс
  • Учебно-исследовательские задачи (`проекты') в `Интеллектуале'

  • Последнее обновление 24.5.2018. Пожалуйста, направляйте пожелания и замечания Аркадию Борисовичу Скопенкову, s*open*o@mccme.ru, где *=k.

    Рекомендации

    Попытайтесь решить перед занятием задачи к этому занятию. Перед началом каждого занятия напишите список решенных Вами пунктов домашних задач (решения которых Вы готовы рассказать у доски). На каждое занятие приносите (несколько устных решений и) новую версию не засчитанного ранее идеального письменного решения (или новое, если все сданные ранее доведены до идеальных).
    Задачи со звездочками принимаются только у того, кто сдал все задачи без звездочки на данный день, кроме, быть может, одной. Сложные задачи решайте и сдавайте даже после дня, на который они заданы.

    Кружок в МЦНМО

    Кружок "Олимпиады и Математика" (ОиМ) проходит по пятницам с 15.09.2017, 15.45-17.30, в аудитории 308 МЦНМО. Попытайтесь решить перед занятием задачи к этому занятию. В 15.45-16.00 проходит самостоятельная подготовка (и пополнение) списка решенных Вами пунктов домашних задач (решения которых Вы готовы рассказать у доски) - напишите свой список или впишите свои задачи в общий. Можно опоздать (принеся с собой готовый список); порешать задачи к данному дню важнее, чем прийти вовремя. (Школьник, порешавший домашние задачи и пришедший на кружок на 45 минут, будет все 45 минут участвовать в кружке, обсуждая эти задачи и получая подсказки по нерешенным. Школьник, не порешавший домашние задачи и пришедший на кружок на 90 минут, будет примерно 60 минут решать задачи, что можно было делать и дома, и 30 минут участвовать в кружке.)
    На кружок приглашаются все желающие ученики 8-11 классов. Однако уровень занятий довольно высок; большинство участников кружка имеют шанс успешно выступить на общемосковских и всероссийских математических соревнованиях.
    На занятиях кружка школьники учатся решать интересные задачи, подобранные так, что в процессе их решения и обсуждения ученики знакомятся с важными математическими идеями и теориями. В начале каждой темы решаются и разбираются олимпиадные задачи. А в конце дело часто доходит до задач для исследования. Много времени уделяется разбору лично с каждым школьником его решений и выдаче ему подсказок и/или дополнительных задач. На кружке также проходят индивидуальные занятия со школьниками, которые решают исследовательские задачи (и выступают со своими результатами на конференциях школьников).
    Руководитель кружка А.Б. Скопенков.
    Поздравляем учеников, завоевавших зачет по кружку ОиМ и некоторые другие достижения!
    Фотографии с выездных занятий. Фотографии с выездных школ и математических прогулок.
    Информация о кружке и о Московских Выездных Математических Школах (команды Москвы на Всероссийскую олимпиаду по математике) 2004-2009.
    Темы прошлых занятий кружка ОиМ. Математический семинар (1994-2013) для СУНЦ МГУ и других школ.

    ТЕМЫ ЗАНЯТИЙ (=домашние задания) 2017/2018 уч. года (если источник не указан, то занятие по книге; cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг!). См. рекомендации.
    Необязательное задание на лето 2018 (желательно сделать к 15.09): 1ab, 2, 3, 4abcd, 5abc*, 7abc и 3, 2K, 3K*, 2r.abc*, 3r.8(4r-4)N, 2Kr.a, 3Kr.a* из п. 2.1. Задачи для исследования.
    После 20.05 перерыв на летние каникулы. Занятия возобновятся в середине сентября 2018.

    К 19.1.2018. Дорешайте задачи к 8-15.12 и прорешайте вариант своего класса (письменно).
    26.1. Задачи регионального этапа. Дорешайте вариант своего класса (письменно) и 1ab, 2ab, 3ab из п. 4.2.
    2-16.2. Начинающие: 1abc, 2abс, 3abc, 4ab*c* (для вещественных) из п. 4.2 Решение уравнений 3-й и 4-й степени.
    Продолжающие: 1abc, 2abс, 3abcd, 4ab*c*, 5abc*, 6abcd, 7a*b* из п. 4.2 Решение уравнений 3-й и 4-й степени и 1abcd, 2abc, 3ab, 4abcd, 5abcde*f* из п. 4.5.
    К 2-9.3. Задачи московских олимпиад. Зарешайте задачи своего 8, 9, 11 класса или задачи своего 10 класса (письменно). Кто решил - делайте задачи для исследования.
    К 16-30.3. 1a, 2b, 3abefcd*g, 4a, 5a* из п. 2.4. Задачи для исследования.
    6.4 занятие пройдет в виде самостоятельного решения задач. Это можно делать дома.
    К 6-27.4. 4, 5, 9ab*, 12a из п. 14.2 и 2, 5ab, 6, 8, 9, 11*, 14 из п. 16.2. Задачи для исследования.
    К 4-11.5. 1ab, 2, 3*, 4, 5a, 7, 14, 13, 15 из п. 21.1 `Игры'. Задачи для исследования.
    К 18.5. 1ab, 2, 3, 4abcd, 5abc*, 7abc и 3, 2K, 3K*, 2r.abc*, 3r.8(4r-4)N, 2Kr.a, 3Kr.a* из п. 2.1. Задачи для исследования.

    К 22.09.2017. Начинающие (=те, кто не получили на занятии листка с п. 5.4): 1cdefgh, 2, 3ab, 4ab из п. 4.1 `Рациональные и иррациональные числа' и 5.4.1abcde.
    Продолжающие (=те, кто получили на занятии листок с п. 5.4): 3bc*, 5ab из п. 4.1 и 1abcdef*, 2abc из п. 5.4.
    К 29.09. Начинающие: 4cd*, 5ab из п. 4.1 и 1f*g*, 2abcdef, 3 из п. 5.4.
    Продолжающие: 1g*, 2def, 3, 5abc*, 6ab, 7ab, 8 из п. 5.4.
    К 6-13.10. Тем, кто 29.09 и 6.10 не был или начал (или продолжил) решать листок с п. 4.1: 1cdefgh, 2, 3ab, 4abcd*, 5ab из п. 4.1 и 1abcdef*g*, 2abcdef, 3 из п. 5.4.
    Остальным: 1abc*, 2ab*, 3ab, 4ab, 5a*d*, 6abcd* из п. 2.2.
    К 20.10-3.11. Попроще: 1e, 2b, 3a, 4bb', 5, 6abс из п. 22.1 и 1a, 2, 3a из п. 22.2.
    Посложнее: 2b, 3a, 4bb', 5, 6abс, 7ab* из п. 22.1 и 1ab*, 2, 3a, 4*, 5a*c* из п. 22.2 и 1ab, 2ad, 3, 5ab*, 6, 7, 8*, 9* из п. 22.3.
    К 3.11-1.12. Попроще: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8*, 9 из п. 9.1.
    Посложнее: 1abcd, 2a*, 3abc, 4a, 5, 6a, 7 из п. 11.5.
    15.11. Крайний срок присылки работ на конференцию школьников.
    К 8-15.12. 3c, 4abc из п. 2.1 и 5ab (для квадратного трехчлена f), 6ab*, 7abcd из п. 2.2 `Простые числа' и 1c, 3ab*, 5abcd*, 6ab, 7abc, 8ab, 10bcde* из п. 2.5 `Линейные диофантовы уравнения'. (2.2.7b. Назовём четное число четнопростым, если оно не имеет положительных четных делителей, кроме себя и 2. Однозначно ли разложение четных чисел в произведение четнопростых?)
    Посложнее: то же плюс задачи для исследования.
    17.12. Заседание конференции школьников.
    К 1.1 Как не надо делать.

    Спецматематика в `Интеллектуале'

    Как ставится оценка за модуль? Успехи учеников. См. рекомендации.

    ТЕМЫ ЗАНЯТИЙ (=домашние задания) 2017/18 уч. года (если источник не указан, то по книге; cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг!)
    К 1.1 Послушайте.
    К 14.1. Дане, Ване и Лене: 4a из п. 1.1 и 3abc, 4, 5, 6*, 7 из п. 17.2.
    Жене: дорешайте задачи к 23.12, текст про сложность и 2.6abc*, 3.1cd, 3.5ab, 4.1ab (аналоги с заменой многочлена $f$ на функцию $R^3\to R$, не предполагаемую непрерывной) из статьи и (найдите группу собственных движений четырехмерного симплекса), (классификация троек треугольников)*.
    К 20.1. Дане, Ване и Лене: 4a из п. 1.1 и 5, 7* из п. 17.2 и 1abc, 2ab, 3ab из п. 4.2 Решение уравнений 3-й и 4-й степени.
    Жене: 3.3.3d, 5.4.28a, текст про сложность и 5ab, 6, 7, 9ac* из п. 4.1 и (классификация троек треугольников)* и 2.8 (достаточность), 3.5ab, 3.6* из статьи и Theorems 2, 1* из статьи.
    К 27.1. Дане сообщил устно.
    К 3.2. Дане, Ване и Лене: 2c, 3c, 4ab (для вещественных) из п. 4.2 и прорешайте вариант своего класса (письменно).
    Жене: 1ab, 2ab, 8ab из п. 21.6 и тексты про сложность и про классификацию троек треугольников и 1ab, 2abcd из п. 4.7 и Theorem 2, Lemmas 3, 5ab, 4 из статьи.
    К 10.2. Дане, Ване и Лене: 1a, 2b, 3abef, 4a из п. 2.4 и 4.2.4c*.
    Жене: тексты про сложность и про классификацию троек треугольников и 1ab, 2abcd из п. 4.7 и 4.9.b, 4.8, 4.10ab* из п. 4.5 и Lemma 4, Theorem 1 из статьи.
    К 17.2. Дане, Ване и Лене: 3cd*g, 5a* из п. 2.4 и 1efgh*, 2 из п. 4.1 `Рациональные и иррациональные числа' и 4.2.4b (для вещественных).
    К 3.3. Дане, Ване и Лене: 3cg (на троих), 5a* из п. 2.4 и зарешайте задачи 1234*5*6* 8-го класса (письменно) и 4.1.3ab и 4.2.4b (для вещественных) и (2-вложимость графов в прямую)*.
    К 10.3. Дане, Ване и Лене: 4.2.4b (для вещественных) и 4abcdf*, 5ab, 6a*b* из п. 4.1 и 14.2.5 и 14.3.1.
    К 10.3. Жене: текст про классификацию троек треугольников и 1ab, 2abcd из п. 4.7 и 4.9.b, 4.8, 4.10ab* из п. 4.5 и 1.3a из 1-sturmadd.pdf и 1cd, 2a, 3abc из п. 7.3.
    К 17.3. Дане, Ване и Лене: 4, 9ab*, 12a из п. 14.2 и 4.1.7a*, 5.4.1abcdeg*.
    Жене: текст про классификацию троек треугольников и 7.3.3abcdefgh и 1.3ab, 2.1a из 1-sturmadd.pdf.
    К 24.3. Дане, Ване и Лене: 2abcdef, 3*, 1i* из п. 5.4 и 2, 5ab, 6 из п. 16.2.
    К 26.3 Жене: текст про классификацию троек треугольников и 1.3bc*, 2.2.a* из 1-sturmadd.pdf и 7.3.3abcdefgh, 7.3.3ijlm.
    К 31.3. Дане, Ване и Лене: 8, 9, 11*, 14 из п. 16.2 и 1ab, 2, 3*, 4 из п. 21.1 `Игры'.
    К 7.4. Дане, Ване и Лене: 5a*, 7*, 14, 13, 15 из п. 21.1 и 1abcd, 2abc из п. 4.5.
    К 21.4. Ване, Дане и Лене: 3ab, 4abcd, 5abcde*g*, 6a из п. 4.5 и неприводимость.
    К 5.5. Дане, Ване и Лене: 3d, 4b из п. 4.2 и 6bc, 10ab, 8ab из п. 4.5 и 13.1.2abcde*.
    К 12.5. Дане, Ване и Лене: 4.5.8cde*, 4.3.5.bcdef и 3, 4a, 5ab*, 7 (для n=4,3) из п. 13.1 и предложения по экзамену по спецматематике.
    Жене: текст про классификацию троек треугольников и 1.3bcd*, 1.1*, 1.4ab*, 2.2ab* из 1-sturmadd.pdf и 7.3.3abcdefgh, 7.3.3ijlm и предложения по экзамену по спецматематике.
    К 19.5. Дане, Ване и Лене: 2, 4, 6b, 7a, 3ab*c*d*e* из п. 25.3 `Многоугольники на клетчатой бумаге' и 4.5.8e, 13.1.7 (для n=4,3) и 1a, 2b, 3a, 5d*, 6ab из п. 2.2.
    Жене: текст про классификацию троек треугольников и 1bc, 5, 6ac*, 7a из п. 11.3 и 2.2b*сc' из 1-sturmadd.pdf и 14abcd*, 15(7,9,11,25), 16* из п. 5.4 и 3, 6b, 7 из п. 19.3 `Пути в графах' и предложения по * в экзамене по спецматематике.

    Программа 2017/18 уч. года для Е. Когана (на каждую тему 3-6 часов; если источник не указан, то по книге ЭМвЗ; темы со звездочками не входят в программу экзамена)
    Алгебра и анализ.
    3.3* Квадратичные вычеты
    3.4 Квадратичный закон взаимности
    6.2* Некоторые основные неравенства.
    7.1 Конечные суммы и разности
    7.2* Линейные рекурренты
    7.3* Конкретная теория пределов
    5.4.4, 5.5.2 Непостроимость в теореме Гаусса
    2* Решаем уравнения: метод резольвент Лагранжа
    3,4,5 Теорема Руффини о неразрешимости
    Теорема Абеля о неразрешимости
    Геометрия.
    2.2* Задачи на пространственное воображение
    2.3 Графы на поверхностях и раскраски карт
    2.4 Неравенство Эйлера для сфер с ручками
    15.2* Правильные многогранники
    11.2* Классификация движений плоскости
    11.3 Классификация движений с неподвижной точкой для пространства
    1-sturmadd.pdf Классификация собственных движений с неподвижной точкой для многомерного пространства
    4.1 Линейная теорема Конвея-Гордона-Закса
    Комбинаторика (к ней относятся также многие темы, указанные в алгебре и геометрии)
    19.3* Пути в графах

    Ко 2-9.9. Из п. 2.2.
    К 23.9. Ване и Лене: 5ab (для квадратного трехчлена $f$), 6ab*, 7ab из п. 2.2 `Простые числа' и 1c, 3ab*, 5ab из п. 2.5 `Линейные диофантовы уравнения'.
    Жене: текст про сложность и 1bce*, 4a, 5ab*, 2a, 3ab из п. 2.3.
    К 30.9. Ване и Лене: 5cd*, 7abc, 8ab из п. 2.5 и 2.2.7cd.
    Жене: текст про сложность и 2.3.7ab, 2.3.6.
    К 14.10. Даниилу, Ване и Лене: 2.5.7c, 2.5.10bcde*, 2.2.7d и 1ab, 2ab из п. 4.3 `Теорема Безу и ее следствия'.
    Жене: текст про сложность и 1, 2abcde* из п. 2.4 и 2.2.9ab* и (у любой замкнутой ломаной на плоскости существует диагональ, пересекающая ломаную только в своих концах) и 1bc, 2ab, 4abcd из п. 7.1 `Конечные суммы и разности'.
    К 21.10. Даниилу, Ване и Лене: 3ab, 4abc, 5abcd, 6a* из п. 4.3 и 2.2.5b.
    Жене: 4defg*, 5ab, 6abc*, 7* из п. 7.1 и 7.2.4bcde*f* и 2.4.2de* и (напишите явную формулу для решения $a_n$ рекуррентного уравнения $a_{n+2}+p(n)a_{n+1}+q(n)a_n=0$ с данными $p(n),q(n)$, в которой можно использовать знаки суммирования)*.
    К 28.10. Даниилу, Ване и Лене: 4ac, 5abcdef, 6a* из п. 4.3 и 2b, 3b, 4bb', 5, 6abс, 7a* из п. 22.1
    Жене: текст про сложность и 2b, 3ab, 5abcd, 6ab из п. 15.2 `Правильные многогранники' и 7.2.4bcde*f*, 7.2.6abcd*, 2.4.2de*.
    К 25.11. Дане, Ване (сдается 16.12) и Лене: 1ab, 2, 4*, 5ac* из п. 22.2 и 1ab, 2ad из п. 22.3.
    Жене: текст про сложность и 10ab*, 14ab, 15ab, 19a, 21a из п. 15.2 и 1abcd, 2abd, 6ac, 7a из п. 11.3. Для исследования: 1, 2, 4a, 5a, 8abc*, 9ab*c* из п. 4.1, (классификация троек треугольников)*.
    Ко 2.12. Ване, Лене и Дане: 3, 5ab, 6, 7, 8*, 9* из п. 22.3 и 2.5.6ab.
    К 9.12. Ване, Лене и Дане: 3, 5, 6 из п. 10.2 `Вписанный угол' и
    1. В ряд стоят числа $1,2,\ldots,n$. Найдите число способов выбрать $k$ из них, чтобы никакие два выбранных не стояли рядом. (Формально --- найдите число $k$-элементных подмножеств множества $\{1,2,\ldots,n\}$, в которых никакие два элемента не соседние.)
    2. Даны три сосуда вместимостью 6, 7 и 12 литров. Два меньших сосуда заполнены. Можно ли в~б\'ольшем сосуде отмерить 9 литров воды?
    3.* Два альпиниста стоят на уровне моря на противоположных сторонах горного хребта (плоской ломаной с~конечным числом звеньев), расположенного целиком над уровнем моря. Докажите, что они смогут встретиться, оставаясь в~процессе движения всё время на одной высоте над уровнем моря.
    4.* Из пункта $A$ в~пункт $B$ ведут две непересекающиеся дороги (ломаных). Известно, что машины (точки), соединённые верёвкой длины 10м, смогли проехать из $A$ в~$B$ по разным дорогам, не разорвав верёвки. Смогут ли разъехаться круглые возы радиуса 5м, если они едут навстречу друг другу по разным дорогам?
    Жене: 8abc* из п. 4.1 и 15.2.21b, 3.3.7b, 3.3.3cd*e*f*, 3.4.1ab.
    К 16.12. Дане, Ване и Лене: 1, 2, 3, 4, 5, 6 из п. 9.1 и 10.2.7.
    Жене: 2ab, 3ab, 4abc из п. 3.4 `Квадратичный закон взаимности' и 3.1.cd* (системы) и 9ab*c* из п. 4.1 и (классификация троек треугольников)*.
    К 23.12. Дане, Ване и Лене: 8*, 9 из п. 9.1 и 3b, 4b, 6a из п. 17.1 и 1a, 2ab из п. 1.1.
    Жене: 5abcde*, 6 из п. 3.4 и 3.3.3d*, 15.2.21b и придумайте действия без неподвижных точек групп Z_2 и Z_3 на трехмерной сфере и 3.1.cd* (системы) и 2.3 из [SS] и 9ab*c* из п. 4.1 и (классификация троек треугольников)*.

    Часть примерной программы 1-3 модуля 2018/19 уч. года для Е. Когана
    7.4 Как компьютер вычисляет корень?
    8.2 Элементы анализа для многочленов
    11.5 Подобия
    21.2 Информационные задачи
    21.6 Сложность суммирования

    Школьник имеет право досдать домашние задачи на кружке "Олимпиады и Математика", по пятницам между 16.00 и 18.00 в аудитории 308 МЦНМО (можно приехать позже, всего примерно на 1-2 часа в зависимости от объема сдаваемого). Оценка за устные задачи, сданные после урока, на который они заданы, делится пополам. Позже 2 месяцев после этого урока задачи уже не принимаются. Досдать даже обязательно, если школьник
    * сдал менее трех задач, или
    * не принес очередной версии письменного решения, или
    * за последние 3 недели ни одна версия письменного решения не засчитана, или
    * пропустил занятие, или
    * не сдал первую порцию по проекту, или
    * в других объявленных случаях.

    Материалы прошлых занятий А.Б. Скопенкова в `Интеллектуале'.

    Учебно-исследовательские задачи (`проекты') в `Интеллектуале'

    Школьники решают учебно-исследовательские задачи в течение всего учебного года. Задачи можно найти на алгебре, геометрии, спецматематике, кружках, на доске у 306, Вы можете предложить свои, и т.д.

    Не позже 23.10 нужно сдать выбранному Вами предруководителю два устных решения и идеальное письменное решение. Последнее нужно редактировать на основании замечаний предруководителя, пока он не сочтет его идеальным.
    28.10. Крайний срок сдачи первой порции: нужно сдать предруководителю четыре устных решения и идеальное письменное решение.

    15.11. Крайний срок присылки работ на конференцию школьников.

    25.11. Крайний срок сдачи второй порции.

    Оценка за вторую и следующие порции (в частности, окончательная оценка) складывается из
    - оценки руководителя (целое или полуцелое число от 0 до 2, выставляемое на основании сданных устных и неидеальных письменных решений),
    - оценки рецензента (целое или полуцелое число от 0 до 2, выставляемое на основании идеальных письменных решений - для N-й порции N решений на одну тему или равноценного, по мнению руководителя, решения более сложных задач),
    - достижений на внешних мероприятиях (целое или полуцелое число от 0 до 1, выставляемое на основании отзыва от конференции-конкурса, на которой полные тексты работ выкладываются в интернет; присутствие на самой конференции не обязательно, хотя наверняка Вам будет интересно).
    Сумма округляется в большую сторону.
    Решайте лучше и больше минимума, сдавайте быстрее крайнего срока!

    23.12 Крайний срок сдачи третьей порции. 20.01 Крайний срок сдачи четвертой порции. 17.02 Крайний срок сдачи пятой порции. 16.03 Крайний срок сдачи шестой порции. 13.04 Крайний срок сдачи всего.

    Почему надо начинать уже в сентябре? Серьезные достижения требуют длительной работы.
    Зачем писать текст? Написание текста - хороший способ структурировать и проверить свои мысли, а также cделать их доступными пользователю.
    Зачем представлять текст рецензенту? Взгляд со стороны помогает увидеть и ошибки и новые возможности, которые трудно заметить Вам или руководителю, `живущим внутри' задачи.
    Rambler's Top100