Курсы топологии в исполнении А.Б. Скопенкова

  • О занятиях и экзамене/зачете
  • Основы топологии, ФИВТ МФТИ, осень 2018 (и ранее)
  • Основы топологии, ФОПФ+ФУПМ МФТИ, осень 2018 (и ранее, до 2016 - ФОПФ, Cовременные топологические методы в физике)
  • Кратные пересечения в геометрической топологии, топологической комбинаторике и комбинаторной геометрии, НМУ, осень 2018
  • Дискретные структуры и алгоритмы в топологии, ФИВТ МФТИ, осень 2018 (и ранее)
  • Теория гомологий для пользователя, НМУ и МФТИ, весна 2018 (ранее - Топологическая теория векторных полей на многообразиях)
  • Алгебраическая топология с геометрической точки зрения
  • Мотивированное и доступное изложение основ топологии
  • Ранее исполненные курсы

  • О занятиях и экзамене/зачете

    Сдача экзамена/зачета проходит на занятиях (с первого по последнее) плюс итоговая часть после. Как ставится оценка за экзамен/зачет?
    Перед началом каждого занятия сдавайте мне список тех (пунктов) задач к этому занятию, которые Вы готовы рассказать у доски. (Задачи, уже записанные Вам, записывать еще раз не нужно. Если в этом списке окажется менее 5 пунктов, то занятие начнется для Вас с самостоятельного решения наиболее простых из домашних задач, и начало пары произойдет позже.) Требования к сдаче таких `устных' решений - рассказать у доски после трехминутной подготовки.
    На одно из двух последовательных занятий приносите новую версию не засчитанного ранее идеального письменного решения (ИПР), или новое (желательно - если все сданные ранее доведены до идеальных). Новое ИПР можно сдавать к любой (на Ваш выбор) задаче из данного или предыдущего задания, не использующей других задач из него же. Рекомендации по идеальным письменным решениям иллюстрируют содержательные требования. Требования к оформлению ИПР - сдать текст на бумаге (отдельный лист на каждую задачу, ибо все равно каждый раз сдается одна), можно распечатку. Я не требую распечатки файла, но советую Вам писать в файл (желательно latex), поскольку его легче редактировать (для получения плюса) и включить в электронную версию книги с Вашей фамилией (для получения ЧГУ).
    Дополнительные задачи отмечены звездочкой; они принимаются (в любом виде: рассказ у доски, ИПР) только у того, кто сделал все задачи без звездочки на данный день, кроме, быть может, одной. Обычно они посложнее и потому учитываются с большим весом.
    Указания или решения (или ссылки на них) для многих задач к некоторому занятию приведены на предыдущем занятии (или на лекции по ДА). См. также указания в конце параграфов в [1, 2, S18]. Для задач на лекционный материал или разобранных на прошлом занятии, как и для других задач, ставя себе плюсик, нужно быть готовым рассказать у доски их решения - включая детали доказательств, которые могли не разбираться на лекции/прошлом занятии. Поэтому, если не оговорено противное, то теоремами, доказанными на лекциях, пользоваться без доказательства в решениях нельзя. При этом иногда проще не повторить доказательство лекционной теоремы и использовать ее для решения задачи, а повторить необходимый фрагмент доказательства на примере решения задачи.
    Я готов заниматься по скайпу и электронной почте (только) со студентами, которые вынуждены пропустить по болезни более одного занятия подряд. Но, конечно, я отвечу и здоровому студенту, если письмо допускает скорый ответ или если в нем найден недочет или неясность в домашнем задании.

    Основы топологии, ФОПФ+ФУПМ и ФИВТ

    Курс для ФОПФ+ФУПМ проходит по четвергам с 6.09.2018, ауд. ЛК202-2, 10.45-12.10 (можно также ходить на 1-ю пару курса для ФИВТ, 16.50-18.20). Курс для ФИВТ проходит по четвергам с 6.09.2018, ауд. Б. Физ., 16.50-19.40 (нестандартное время!). Курсы ориентированы на студентов ФОПФ+ФУПМ и ФИВТ, но их могут изучать все желающие, справляющиеся с домашними заданиями.
    С 11.10 студенты ФИВТ могут выбрать вариант `без *'. Те, кто выберут этот вариант, пишут все контрольные работы, начиная с 8.11, по варианту, не включающему материал со * и чуть более простому. При этом им не засчитываются устные домашние задачи со *, начиная с 11.10 (кроме уже проверенных 11.10 и 18.10) и идеальные письменные решения задач со * (кроме сданных не позже 18.10). Формула для оценки за семестр `со *' и `без *' одинаковая. Однако тем студентам, которые в октябре-декабре будут заниматься на уровне `менее чем 100 баллов к 20.10', любую оценку проще получить по варианту `без *'. (В частности, формула для оценки показывает, что занимающимся на этом уровне невозможно получить высокую оценку при обоих вариантах.)
    Cтуденты, выбравшие вариант `без *', на второй паре могут разбираться с разобранными домашними заданиями, консультироваться у Влада, писать ИПР, писать контрольную (когда она будет). Каждое следующее задание делать легко, если студент разобрался во всех предыдущих и при этом большую часть решил самостоятельно. Те, кто будут готовы сдать любую задачу без * из текущего задания (умея доказать все используемые факты из курса), смогут по желанию либо разбираться с прошлыми заданиями, либо получить задание к следующему разу.
    Для студентов, выбравших вариант `со *', вторые пары будут проходить на более высоком уровне (в частности, с более высокими требованиями).
    Пожалуйста, продумайте Ваш выбор до 8.11, ибо после получения варианта на контрольной 8.11 изменить Ваш выбор нельзя.

    Аннотация и программа (ФОПФ+ФУПМ). Аннотация и программа (ФИВТ). Успехи студентов. О занятиях и экзамене/зачете. Литература: [1, параграфы 1-4], [2, параграфы 1, 4], [CR, глава 5], [A, BE, P, S14]. Видеозаписи.
    Примеры красивых теорем, которые будут изучаться: 2.2.9, 2.3.3, 2.3.4, 2.3.6, 3.1.1, 3.3.6, 4.1.1b, 4.2.5 из [1] и 1.1, 1.4 из [S14] и (ФИВТ) 1.2.2, 1.4.1 из [2].

    Домашние задания (если источник не указан, то задание по книге [1]; бумажная версия книги [1] доступна в библиотеке МФТИ; задачи со * обязательны только для студентов ФИВТ, выбравших курс со *; cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг!)
    К первому занятию 6.09.2018: 1.1.1a*, 1.1.2, 1.3.1a*, 1.3.2* из [2], 2.2.1b и из п. 1.2 в [1].
    К 13.09, только ФОПФ: из п. 1.2. Используйте без доказательства формулу Эйлера.
    К 13.09 ФОПФ и ФИВТ: 5ab, 6, 7, 4, 3, 8a*, 9* из [2, п. 1.3] и 1*, 2a*b*c*d*e* из п. 1.4 и 2a, 4a из п. 2.2.
    К 20.09: 5a, 4, 3a'b'abc из [2, п. 1.3] и 3ab, 4b, 5ab, 6abc, 7, 8a из п. 2.2 (используйте без доказательства теорему Римана 2.2.9a) и 1*, 2a*b*c*d*e* из п. 1.4 и 1a*b*c*d*e*f*, 2a*b*, 3a*(bI)* из п. 1.5. Посмотрите мультфильмы про тор, крендель и сферу с ручками.
    К 27.09: из п. 1.3 и 6d, 8b из п. 2.2 и 1abc*e*, 5ab, 4a, 2a, 3ab из п. 2.3 и 1abcde*, 2a из п. 2.4 и 4a*b*c*, 3(bE)* из п. 1.5 и 1a*b*c*, 2a*b*c*a'*b'*c'* из п. 2.5. Используйте без доказательства теорему Римана 2.2.9a и неравенство Эйлера 2.4.2a.
    К 4.10: 2.2.1ab и 2.3.1ab*d из [2] и 2.2.9a, 2.3.7a, 2.8.1ac*, 2.8.2a*b* и 2a*bc (доказывайте непрерывность!), 3ab из п. 3.1 и 1ab, 2a(пример без доказательства), 3 из п. 3.2 и 3a*b*, 4a*b*c*d*c'*d'*, 5*, 6a*(bE)*(bI)* из п. 2.5.
    К 11.10: 1abc', 4ab, 5abc, 6ab, 7a из п. 3.2 и 1abcde, 2, 3abd, 4ac из п. 3.3 и 2.4.2a, 2.2.9a, 2.3.2c*, 2.3.3d**, 2.2.5b*, 2.6.1a* и 2a*, 3a*b*, 4c'*d'*, 5a*b*, 6(bE)*(bI)** из п. 2.5 (прочитайте новые пункты и указания в книге) и 2.1.2*, 2.1.3*, 2.2.3*, 2.2.2a* из [2].
    К 18.10: 6bcd*, 7ca'c', 8ab* из п. 3.2 и 4bcd, 5ab, 6a из п. 3.3 и 1ab, 3, 2(3.1.3c<=>1<=>2)(2=>2PL)* из п. 3.4 и 2.6.2a*(bE)*, 2.3.3d**, 2.3.4b* и [BMS, 5.1*, 5.2*] и 2.2.2b*, 2.1.4a*b* из [2]. Посмотрите мультфильм о векторных полях и кино о лемме Шпернера в мат. экономике, (неинтересное кино о неподвижной точке)*.
    К 25.10: 1ef, 7c', 8a из п. 3.2 и 5b, 6a из п. 3.3 и 1bc, 3, 2 (нарисуйте минимальный граф, без вершин 3.1.3c и 3.2.7b, тех импликаций, которые Вы доказали; минимальность означает отсутствие тех импликаций, которые получаются по транзитивности; 2PL* только для ФИВТ*), 2.2Sp(доказать), 4(a=>b)* из п. 3.4 и 3.5.1ab, 3.6.1abc, 2.3.4b*, 2.5.6(bE)*, 3.3.3c** и [BMS, 5.3a*b*]. Посмотрите кино о теореме Борсука-Улама и короткометражку о гомотопии. По [2]: 1.7.5a* и 4d*, 5a*b*, 7a* из п. 2.1 и 2b*, 5a*, 6a*b** из п. 2.2.
    К 1.11: 3.4.1d, 3.4.2(1=>2Sp)(2Sp=>1)*, 3.5.1cde*, 3.6.1bc и 1abcd, 2a'aa''bcde* из п. 3.7 (в этом задании четко сформулированные версии леммы о поднятии гомотопии 3.7.2b можно использовать без доказательства тому, кто доказал лемму о поднятии пути) и 1a*b*, 2a*b*c*, 3a*b*c*d*e* из п. 3.9 и [2, 2.2.7a*b*c**]. Приготовьте* к сдаче задачи со * из задания к 25.10. Посмотрите первую половину немого кино о накрытиях.
    К 8.11, 17.05-18.30, ауд. 123 ГК (сдается 15.11; вторая пара 8.11 переносится на ???.11): 2a''b', 3abc, 4ab из п. 3.7 и 3.1.1*, 3.1.3c, 3.2.7b, 3.3.6b*c, 3.4.2(1), 3.4.4ab*cde* (докажите утверждения, а не эквивалентность), 3.9.5a**b*, 5.2.1a*b*c*d*e*. Лемму о поднятии гомотопии уже нельзя использовать без доказательства. Готовьтесь к контрольной работе на всю пару, прорешивая задачи и выбрав заранее вариант.
    К 15.11:1abc, 2, 5* из п. 3.8 и 3.9.4a*b*, 5.2.1f*h*i* и 1, 2, 3ab, 4, 7b, 5a*b*, 6*, 9a*, 10ab* из [2, п. 4.1] и [S14, 1.2].
    К 22.11: 3.8.3abc* и 1ab, 2, 3ab, 4a*b* из п. 4.1 и 1ab*c*d*, 2a*b* из п. 4.2. 1ab*, 10b* из п. 4.3 и 2.4ab, 1.1 из [S14].
    К 29.11: Посмотрите видеоклип и 1.1, 1.2, 1.4, 2.1, 2.2*, 2.3a, 2.4a* из [P]. В качестве решения засчитывается серия картинок или даже эксперимент с веревкой, который сможет повторить преподаватель. Если в задаче 2.3a Вы не доказали изотопность всех узлов, то укажите те изотопности, которые Вы получили. 1ab, 2abc*d, 3ab, 4a*b*, 5, 6a*b*, 7a*b*, 8a*b* из п. 2.7 и 2.8.5a*b*c*d*e*. И * из п. 5.3.
    К 6.12: и 1abc, 2ab, 3abc, 4, 5ab из [2, п. 4.2].
    К 13.12: 1abcde*, 2ab*c* из [2, п. 4.3].
    К необязательной консультации (?.12) и зачету/экзамену 20.12: 9.1.4b* и 2hi (используйте пояснение и без доказательства 8b), 9 из п. 10.5 и готовьтесь к зачету/экзамену, прорешивая задачи.

    Аннотация и программа (ФОПФ): весна 2015 и весна 2014. В 2014 были также некоторые задачи по теории узлов.


    Кратные пересечения в геометрической топологии, топологической комбинаторике и комбинаторной геометрии

    Спецкурс проходит по пятницам с 14.09.2018 в НМУ, 19.20-21.00. Курс разбит на два модуля, за каждый из которых можно получить половину кредита, а второй из которых рассчитан на тех, кто сдал первый.
    Аннотация и программа. О занятиях и экзамене/зачете. Литература: [2, параграфы 1, 2, 5], [S08], [S14], [S16], [S18].
    Примеры красивых теорем, которые будут изучаться: 1.1 и 1.4 из [S14] и 1.2.2, 1.4.1, 2.1.6, 2.2.2, 2.2.4, 2.3.2, 5.5.6-5.5.14, 5.9.2, 5.9.4, 5.9.11, 5.9.15 из [2].
    Попытайтесь решить следующие задачи к первому занятию 14.09! Это поможет Вам решить, изучать ли этот курс. This trying is also sensible if you are sure that you will take the course. These problems are by no means obligatory, and not succeeding in solving them does not mean that you shouldn't take the course. The solutions will be discussed on the first lectures. 1.2.2a, 1.3.1a, 1.3.2, 1.4.1, 2.1.2, 2.1.5a, 2.2.2b* из [2] и 1.2, 2.4ab, 1.1*, 2.6 из [S14].

    Домашние задания (задачи со звездочкой принимаются только у того, кто сделал не менее 90% всех задач без звездочки из всех заданий; если источник не указан, то задание по книге [2]; cледите за обновлениями заданий и pdf-файла книги!)
    К 21.09-2.11: 1.2, 2.3ab*, 2.4ab, 1.1, 3.6, 2.6, 2.9.(2)(2')(3)(3')(4-3)*(4'-3)*(4-2)*(4'-2)* из [S14].
    1ab, 6, 7, 8a* из п. 1.3 и 2ab, 3, 1 из п. 1.4 и 1.5.9abc, 1.7.5a и 2, 3, 4abcd, 5abc*, 7abc* из п. 2.1.1 и 3, 3r.(8)(4r-4), 2Kr.a, dKr.a из п. 2.1.2 и 1ab, 2ab, 3 из п. 2.2 и 2.3.1abcd и 1, 2, 3ab, 6*, 9ab(r=4,построение без доказательства)*c*, 10a из п. 4.1.
    [1, 3.4.3].
    5a*, 6a*b*с*, 7a*b*c* из п. 2.2 и 6*, 4a*b*, 7* из п. 2.3 в [S18].
    К 9.11: 4, 7b, 5a*b*, 6*, 10b* из п. 4.1 и 1.4, 3.4ab из [S14] (эти задачи принимаются только у того, кто сделал не менее 90% всех задач без звездочки из прошлых заданий). Готовьтесь к контрольной работе на всю пару, прорешивая задачи к 21.09-2.11.
    К 16.11: 3.1, 3.7ab из [S14] и 2a, 5ab* из п. 1.2 и 1.5.1d* (эти задачи принимаются только у того, кто сделал не менее 90% всех задач без звездочки из прошлых заданий).
    К ???.11: 3.2 из [S14] 1abc, 2, 3, 4abc, 5ab, 6ab из п. 1.5.

    Аннотация и программа похожего спецкурса <<Топологическая гипотеза Тверберга: комбинаторика, алгебра и топология>>, НМУ, осень 2016.
    Аннотация и программа похожего спецкурса <<Алгоритмы распознавания реализуемости графов и гиперграфов>>, НМУ, весна 2017. Литература: [1, параграфы 1 и 2] [2, параграфы 1, 2, 4.6, 5], [BE, S14]. Аннотация и программа 2015.
    Похожий спецкурс на матфаке ВШЭ, 2013.


    Дискретные структуры и алгоритмы в топологии

    Курс ориентирован на студентов ФИВТ, но его могут изучать все желающие.
    Аннотация и программа. О занятиях и экзамене/зачете. Литература: [1, параграфы 1-6], [2, параграфы 1, 2, 4], [A, BE, P, S14].
    Примеры красивых теорем, которые будут изучаться: 1.2.2, 1.4.1, 2.2.2 из [2] и 2.2.9, 2.3.2, 2.3.4, 2.3.6, 3.3.6, 3.3.7, 4.1.1b, 4.2.5, 5.1.2, 11.1.1* из [1] и 1.1, 1.4 из [S14].

    Аннотация и программа: осень 2016, осень 2015, весна 2014 и весна 2013.


    Теория гомологий для пользователя

    Аннотация и программа. О занятиях и экзамене/зачете. Литература: [1, параграфы 4, 8, 9], [2, параграфы 1, 2], [BE].
    Примеры красивых теорем, которые будут изучаться: 4.4.2, 4.5.6b, 8.1.2, 8.2.8, 8.3.3, 8.3.6a, теоремы пунктов 9.1, 11.1 и 12.1 из [1] и 1.2.2, 2.2.1, 5.5.9-5.5.13 из [2].

    Домашние задания для занимающихся в НМУ
    По [2]: 1ab, 2, 3 из п. 1.1 и 3ab, 5a из п. 1.2 и 6, 7, 1a, 5ab, 4*, 8a*b*, 9 из п. 1.3 и 1, 2abc, 3 из п. 1.4 и 1.6.2ab и 1ab, 2, 3, 4abcd, 5abc*, 7abc из п. 2.1 и 1ab, 2ab*, 3 из п. 2.2.
    Из [S18, \S2.3] (2.3.8: равносильность, b' для f|_{S^{d-2}}=\id).
    По [1]: 4.1.1ab, 4.4.1a и 1f, 3, 6ab из п. 4.5 и 4.6.1, 4.7.1ab, 4.7.2ab* и 8.1.4a и 2abcd, 4abci, 7ab, 8bc из п. 8.2 (можно использовать `гладкое' определение степени) и 1abced*, 4abcdc'd', 3c, 5abcde, 3ab, 6a из п. 8.3 и 1ab*, 2ab, 3 (только (3=>2)(3=>1)*), 4abcde, 5ab* из п. 9.1 и 1ab, 2ac(используя (b)), 3ab*, 4d* из п. 9.2.

    Домашние задания для занимающихся на Тимирязевской
    По [2]: 1ab, 2, 3, 4abcd, 5ab, 7ab из п. 2.1 и 1ab, 2ab*, 3 из п. 2.2 и прочитать п. 2.3 и 1, 2abc, 3 из п. 1.4 и 1, 2, 3abc, 4ab, 5ab, 6, 7, 8abc, 9, 10, 11, 12* из п. 1.5 и 1.1.4, 1.2.5ab*, 1.3.8ab, 1.3.9, 1.6.2ab, 4.2.6a, 4.1.9c*, 4.8.3b*, 5.5.3abce*, 5.9.5b*.
    Из [S18, \S2.3] (в 2.3.7 разумно начать с примера и с независимости относительно движений с рис. 1.7).
    По [1]: 8.1.4a и 5abс, 6abcdef, 7ab, 8bcdefa из п. 8.2 (можно использовать `гладкое' определение степени; разобрать расcуждения с ориентацией и знаком по [Ma03]).
    Текст про св. сумму, полузачет по зацеплениям и текст курсовой.

    Аннотация и программа (весна 2016).


    Алгебраическая топология с геометрической точки зрения

    Обновляемая версия части книги, выложенная с разрешения издательства.
    Фотографии И. Решетникова, И. Федорова и других с занятий в 2013-2014.
    Осторожно, опечатки в фотографиях не исправляются - в отличие от опечаток в книге. Страницы указаны по издаваемой версии.
    К стр. 24, к доказательству неравенства Эйлера (задача 2.11a).
    К стр. 26, лист Мебиуса в книжке с тремя страницами (к задаче 2.19a, решение Т. Сеилова).
    К стр. 34, к задаче 2.15.
    К стр. 35, Утолщение графа (к задаче 2.21d, решение С. Соловьева).
    К стр. 35-36, Тор с дыркой в книжке с тремя страницами (к задаче 2.19b); краевые окружности ленты Мебиуса с дыркой меняются местами (к задаче 2.23d, рис. 25a), решение И. Сечина и М. Ягудина .
    К стр. 36, к задаче 2.23c (левая половина).
    К стр. 36-37, Преобразование диска с четырьмя ленточками, правая часть (к задаче 2.22b и другому решению задачи 2.26a, решение И. Сечина). `Разные' кольца с двумя лентами Мебиуса гомеоморфны (к задаче 2.23e, рис. 25b); преобразование диска с четырьмя ленточками, левая часть.
    К стр. 37, к доказательству формулы Эйлера (задача 2.26a).
    К стр. 45, п. 3.3: к определению степени; определение степени.
    К п. 3.3.
    К стр. 49, к задаче 3.2b.
    К стр. 51, к задаче 3.13ab.
    К стр. 52, к задаче 3.21bc; к задаче 3.22.
    К стр. 94, к определению клеточного разбиения.
    К стр. 104, к задаче 6.15a; к задаче 6.17c; к задаче 6.17d; к задаче 6.18.
    К стр. 105, к задаче 6.23d.
    К п. 8.3. Hopf fibration.
    К стр. 143, примеру линзовых пространств (слева).
    К стр. 148, определению приклеивающего слова.
    К п. 10.5. К п. 10.5.
    К стр. 151, к задачам 10.24 и 10.27. 1; 2; 3.
    К стр. 156, к задаче 10.13a; к задаче 10.16.
    16.02.2013: фото-1; фото-3. 2.03: фото-1; фото-2; фото-3. 9.03: фото-3; фото-4; фото-5; фото-6.
    16.03: фото-1; фото-2; фото-3. 13.04: фото-1; фото-2.
    26.04: фото-5; фото-6. 4.05: фото-1; фото-2; фото-2a; фото-3; фото-4.
    11.05: фото-1; фото-2; фото-3; фото-4; фото-6; фото-7; фото-9;

    Мотивированное и доступное изложение основ топологии

    Звездочками отмечена литература, требующая некоторой подготовки.
    [A] Д. В. Аносов, Отображения окружности, векторные поля и их применения. М., МЦНМО, 2003.
    [BE]
    В. Г. Болтянский и В. А. Ефремович, Наглядная топология. М., Наука, 1982.
    [BE] V.G. Boltyanskii, V.A. Efremovich, Intuitive Combinatorial Topology. Springer.
    [CR] Р. Курант, Дж. Роббинс, Что такое математика. М., МЦНМО, 2004 (глава 5).
    [F] А.Т. Фоменко, Наглядная геометрия и топология, 1992.
    [FT] С. Л. Табачников и Д. Б. Фукс, Математический дивертисмент. М., МЦНМО, 2011.
    [FT] D. Fuchs and S. Tabachnikov, Mathematical Omnibus. Amer. Math. Soc. Publ., Providence, R.I., 2007.
    [Mk] * J. Matousek, Using the Borsuk-Ulam Theorem: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry. Springer, 2003.
    [Mv] * S.V. Matveev, Algoritghmic topology and classification of 3-manifolds. Springer, 2003.
    [MA] * Manifold Atlas.
    [P] В. В. Прасолов, Наглядная топология. М., МЦНМО, 1995.
    [P] Prasolov V.V., Intuitive Topology. Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1995.
    [1] А. Б. Скопенков, Алгебраическая топология с геометрической точки зрения М., МЦНМО, 2015.
    [2] А. Б. Скопенков, Алгебраическая топология с алгоритмической точки зрения. Недостающие рисунки к параграфу 5.
    [S01] А.Б. Сосинский, Узлы и косы. М., МЦНМО, 2001.
    [S14] A. Skopenkov, Realizability of hypergraphs and Ramsey link theory.
    [S16] * A. Skopenkov, A user's guide to the topological Tverberg conjecture, Russian Math. Surveys, 73:2 (2018) 323-353.
    [S16'] * A. Skopenkov, Stability of intersections of graphs in the plane and the van Kampen obstruction, Topol. Appl. 240 (2018) 259-269.
    [S18] A. Skopenkov, Invariants of graph drawings in the plane.
    [S] A. Skopenkov, A short introduction into link and knot theory.
    [Z] * E.C. Zeeman, A Brief History of Topology.

    См. также:
    Санкт-Петербургская заочная олимпиада по топологии.
    А.А. Ошемков, А.Б. Скопенков, Студенческие олимпиады по геометрии и топологии, Матем. просв. 11 (2007) 131-140.


    Ранее исполненные курсы

    Литература к этим прошлым спецкурсам - та же, что и к читаемым (но другие главы в соответствии с программами).

  • Спецкурсы в НМУ, на мехмате МГУ и на мехмате МГУ осенью 2012

  • Топология-1, НМУ, весна 2014 (+ М. Скопенков). Программа. Видеозаписи лекций. Прием решений онлайн.

  • Топология-2, НМУ, осень 2014 (+М. Скопенков). Программа. Видеозаписи лекций. Прием решений онлайн.
    Параграфы 3, 4, 6, 8, 9, 10, 15 из [1]. Многие задачи в параграфе 6 полезно сначала решить - на отдельный плюс - для триангуляций, а затем для клеточных разбиений. Начинайте решать предложенные задачи из параграфа 8 со случая n=1 - там, где он осмыслен.

  • Классификация зацеплений, НМУ, осень 2017
    Аннотация и программа. О занятиях и экзамене/зачете. Литература: [1, 2, P, S14], High codimension links.
    Примеры красивых теорем, которые будут изучаться: 1.1 из [S14], из [2, \S4], \S4, \S6, \S7. Linking spheres.
    Участники курса могут сдавать полукурс `Зацепления в трехмерном пространстве' с 1/2 кредита. Программа полукурса: п. 1-4 программы курса (кроме числа Сато-Левина); задачи к 8.09-20.10, кроме доп. задач. Отдельный экзамен по этому полукурсу проведен 22.09 и 10.11. Отдельный экзамен по второй половине курса будет проведен в декабре (и в январе 2018).
    Домашние задания (если источник не указан, то задание по книге [2]; cледите за обновлениями заданий и pdf-файлов книг!)
    Попытайтесь решить следующие задачи к первому занятию 8.09! 1.1.1a, 1.3.1, 1.3.2a, 4.4.1a, 4.4.3* из [2], ... из [S14].
    К 15-22.09: 3b*c, 4, 5, 6a* из п. 1.3 и из [S14].
    К 29.09: 1abc, 2ab, 3abc, 4, 5ab, 6a* из п. 4.2 и 4.3.1abcd.
    К 6.10: 4.3.2abcd, 4.3.4ab*, 4.4.1a, 4.4.3.
    К 13.10: 1ab, 2ab, 3ab, 4ab из п. 4.5.
    К 20.10: 1abcd, 2abcdefg из п. 4.6 и 4.4.1b, 4.4.2c.
    Доп. задачи (*): 1a, 2abcde, 12g, 13abcd.
    К 27.10-15.12: 5abс, 6ef, 8abcdefg из [1, п. 8.2] (можно использовать `гладкое' определение степени) и 2a*b*, 3a, 4abc, 5ab, 8ab из [1, п. 8.5] (в бумажной версии это п. 8.3) и 2hi (используйте пояснение и без доказательства 8b), 9 из [1, п. 10.5].
    1b, 2bcd, 3abcde из п. 4.7 и 1, 2abcd, 3ab, 4ab(1'22'3), 5abc из п. 4.8 и посмотрите мультфильм и 1abc, 2abcdef, 3ab*c, 4, 5*, 6abcdef, 7abc, 8, 9abdef*g* из п. 4.9.
    Из атласа: прочитайте п. 1, докажите все сформулированные в п. 2 утверждения, прочитайте определение 3.1, докажите замечание 3.2acde (определения встречающихся там новых для Вас объектов можно найти по ссылкам на том же сайте).
    Доп. задачи (*): 4.1.9abc*, (аналог 4.6.1b по модулю 3), 4.4.2bde(оценка снизу), 4.4.4ab, 4.5.5ab, 4.5.6, 4.8.2d, 4.8.3b, 4.8.5d, 4.8.6.
    Дополнительный материал для изучения после сдачи экзамена (последние два годны также на `отлично' автоматом):
    High codimension links. Whitney embedding theorem (см. идею док-ва в русской версии)
    QUICKLY UNKNOTTING TOPOLOGICAL SPHERES. Простое доказательство теоремы классификации зацеплений.

  • Алгебраическая топология многообразий в интересных задачах, НМУ, осень 2015 (и ранее).
    Аннотация и программа. Литература: [1, параграфы 8, 11, 12, 14, 16], [FF, P', P''].
    Примеры красивых теорем, которые будут изучаться: 8.2, 8.3, 8.8b, 8.25, 11.1, 12.1, теорема классификации векторных полей из п. 8.4, теорема Штифеля из п. 9.1, теоремы из п. 16.1. John Milnor: Spheres.
    Домашние задания (по [1])
    К 25.09: 13b, 16a, 20abcd*, 21ab из параграфа 11 и 1, 2ab, 3, 7ab, 8, 9 из параграфа 14 (докажите все факты ad hoc); 18abcd*, 20abcdef*, 21, 22bcdef*, 23bcd* из параграфа 16.
    Ко 2.10: 29, 36a, 37a*, 38a из параграфа 8; 1ab*, 2ab*, 6ab, 7acd (используйте утверждение 7b без доказательства), 8a из параграфа 9; 20abcd*, 21ab из параграфа 11; 1, 2ab, 3, 7ab, 8, 9 из параграфа 14 (докажите все факты ad hoc); 18abcd*, 20abcdef*, 21, 22bcdef*, 23bcd* из параграфа 16.
    К 9.10: 1ab*, 2ab*, 6ab, 7acd (используйте утверждение 7b без доказательства), 8abc*, 10ab, 11a из параграфа 9; 20abcd*, 21ab из параграфа 11; 1, 2ab, 3 из параграфа 14 (докажите все факты ad hoc).
    К 16.10: 1, 2abcd, 3cd, 4ab, 5b, 6a из параграфа 6; 6b, 8bc*, 10ab, 11a из параграфа 9; 20abcd*, 21ab из параграфа 11; 1, 2ab, 3 из параграфа 14 (докажите все факты ad hoc).
    К 23.10: 1, 2abcd, 3cd, 4ab, 5b, 6a из параграфа 6; 6b, 8bc*, 10abc, 11a, 12ab из параграфа 9; 2b, 3, 4, 5abcd, 6ab, 7cd, 11a, 13ab из параграфа 14 (докажите все факты ad hoc).
    К 30.10: 13c, 14e, 15ab, 19abcd из параграфа 14 (докажите все факты ad hoc) и 8.2 и 9.13abc.
    К 6.11: 4ab, 6c, 7a-j, 8a-i,2,3*,4*, 9a из параграфа 8 (можно решать гладкие аналоги, если умеешь доказывать необходимые гладкие результаты) и 3.13.abcd.
    К 13.11: 12cdefg*, 14, 17abcdef, 20abcdc'd' из параграфа 8.
    К 20.11: 21abcde, 19abc, 22a* из параграфа 8 и 9.11b*, 9.12d* и 11.5abcdefg*, 11.23ab*.
    К 27.11: приготовьте к сдаче задачи к 23.10-20.11, не сданные Вами ранее, и 24abcde*, 25ab*, 26a* из параграфа 11 и 12.10a.
    НМУ, весна 2013: аннотация и программа (в окончательную программу вошли пункты 1,2,4,5,6), видеозаписи лекций
    НМУ, осень 2013: аннотация и программа, видеозаписи лекций

  • Через гомотопическую топологию к сверхтекучести.
    Мастер-класс ориентирован на студентов ФОПФ, сдавших
    основы топологии, но в нем могут участвовать все желающие, справляющиеся с домашними заданиями.
    Литература: [1, параграфы 8, 15, 17 и [MM95, RSS05]], [2, параграфы 4, 7], [BE].
    Вводные задачи: 3.4.2, 4.2.3d, 4.2.4c, 4.4.3c, 4.4.4a, 8.2.8a, 8.2.9bc*, 8.2.10, 8.5.3ab*, 8.5.4a, 8.5.5a из книге [1] и 1c, 2ab, 3a, 4 из [2, п. 4.2] и 1abcd, 2ab из [2, п. 4.3]. Посмотрите мультфильм о расслоении Хопфа.
  • Knot Theory, MiM, Spring 2014
  • General information. References. On the final mark. Hints to some homework problems are given at the previous lecture.
    Homework problems.
    1.1*, 1.4, 2.1, 2.3.a, 3.1, 3.2a, 3.3, 3.5, 3.6 from [P].
    From [2] section 4; and from [S].
    1, 2, 3, 4, 5 из section 2.4 в [CDM]:=S.Chmutov, S.Duzhin, J.Mostovoy. Introduction to Vassiliev knot invariants, Cambridge Univ. Press, 2012 (Chapters 1 and 2). 2, 3, 5, 6, 7, 11, 12, 14, 19, 25 из [CDM, excercises to section 2, pp. 64-67] (нужно решать только для полинома Джонса, слова про полином Конвея в условии нужно игнорировать). 3.1.4, 3.2.3, 3.3.3* from [CDM, section 3].
    Problems 2.1, 2.2*, 3.4, 3.5*, 4.1, 4.2, 4.3, 4.4ab, 5.1ab, 5.2, 5.3*, 6.1.ab, 6.2, 6.3*, Theorems/Results 3.4, 3.6, 3.8, 4.2, 4.3, 4.5, 4.6, 4.7, 5.5, 6.3, 6.5, 6.8 from [PS] := Prasolov V.V., Sossinsky A.B. Knots, Links, Braids, and 3-manifolds. Amer. Math. Soc. Publ., Providence, R.I., 1996. В. В. Прасолов, А.Б.Сосинский. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия, М., МЦНМО, 1997.
    Последнее обновление/Last modification 3.11.2018.
    Contacts: s*open*o@mccme.ru, *:=k. Пожалуйста, направляйте пожелания и замечания Аркадию Борисовичу Скопенкову, s*open*o@mccme.ru, где *=k. Rambler's Top100