Задачи для исследования студентам и школьникам / Introductory research problems

If you solve some introductory exercises on some topic, then we can meet and discuss future work. Write to my address sk*penk*@mccme.ru, *=o.
Если Вы решите несколько вводных задач по какой-либо теме, то я буду рад встретиться с Вами или выступить на семинаре с Вашим участием. Напишите мне по sk*penk*@mccme.ru, где *=o.
Студенты ФИВТ МФТИ могут работать над задачами для исследования в рамках мат. практикума, полугодовой курсовой работы по научному треку инновационного практикума, дипломной работы. Приглашаю к сотрудничеству также студентов НМУ и (в исключительных случаях) других ВУЗов.
Некоторые задачи доступны школьникам. Ученики `Интеллектуала' могут подойти ко мне на уроки или в перемену между ними (в кабинет или учительскую).
Q: Какие темы курсовых у Вас ещё свободны? A: В первом приближении все свободны. Подробнее обсудим при встрече после решения Вами вводных задач. Нижеприведенный список тем и уже подготовленных курсовых регулярно обновляется. Even if some papers below are listed, there still remain interesting research problems on the corresponding subject.

Последнее обновление 5.11.2021.

Разное

  • Примеры курсовых работ:
    * I. Vasenov, Tiling of regular polygon with similar right triangles, I, arXiv:2010.05052.
    * L. Vigdorchik, Tiling of regular polygon with similar right triangles, II, draft.
  • Степенные последовательности (п. 2.11) и тета-гамильтоновость (п. 2.12).
  • Поверхности из квадратиков / Surfaces made by squares.
    Приведите четкие формулировки, полные доказательства и обобщения гипотез работы (по ошибке названных теоремами).
    Give rigorous statements, complete proofs and generalizations of conjectures of the paper (which were called theorems by mistake).

    Графы на плоскости и на поверхностях / Graphs in the plane and on surfaces

    Вводные задачи в п. 1.4, 1.5, 2.2-2.5, основные в п. 2.9 `Реализуемость утолщений'.
    Примеры курсовых работ:
    * A. Bikeev, Realizability of discs with ribbons on a Moebius strip, arXiv:2010.15833.
    * A. Bikeev, Towards a short proof of the Fulek-Kyncl criterion for modulo 2 embeddability of graphs to surfaces, arXiv:2012.12070.
    * E. Kogan, On the rank of Z_2-matrices with free entries on the diagonal, arXiv:2104.10668.
    * T. Garaev. On almost embeddings of K_5 in the plane, draft (on the problem in Remark 1.7.a of arXiv:2008.02523).
    Пример одного из основных результатов докторской диссертации (МГУ, 2008, В.О. Мантуров, теорема 10): A. Skopenkov, Embeddings into the plane of graphs with vertices of degree 4, Мат. Просвещение, 21 (2017), 197-204, arXiv:1008.4940.
  • Разводимость путей на плоскости / Stability of intersections of paths in the plane
  • Параграф 3 `Устойчивость самопересечений графов на плоскости'.
    Устойчивость пересечений путей на плоскости / Stability of intersections of paths in the plane. Вводные задачи в первом пункте, основные в его конце.
    A. Skopenkov, Stability of intersections of graphs in the plane and the van Kampen obstruction, Topol. Appl. 240 (2018) 259-269, arXiv:1609.03727.

    Гиперграфы в трехмерных (и многомерных) многообразиях

    Трехмерные утолщения двумерных гиперграфов: параграф 7.
  • Реализуемость косых произведений графов:
  • Пункт 5.15.
    Пример возможной дипломной работы: D. Tonkonog, Embedding 3-manifolds with boundary into closed 3-manifolds, Topol. Appl., 158 (2011) 1157-1162. arXiv:1003.3029.
  • Дружественность деревьев / Friendliness between trees:
  • См. стр. 1-3.
    Примеры курсовых работ:
    * A. Rukhovich, On intersection of two embedded spheres in 3-space, Topol. Appl. 170 (2014) 96-103, arXiv:1012.0925.
    * S. Avvakumov, How do curved spheres intersect in 3-space? Topol. Appl. 172 (2014) 87-94, arXiv:1210.7361.
    * V. Belousov, A smaller counterexample to the Lando conjecture, arXiv:1311.3086.
    * D. Kolodzey, On friendliness between trees, arXiv:1509.00370.

    Кратные пересечения в геометрической топологии, топологической комбинаторике и комбинаторной геометрии

    Параграфы 2 `Кратные пересечения в комбинаторной геометрии' и 6 `Теоремы Радона и Тверберга'.
    A. Skopenkov, A user's guide to the topological Tverberg conjecture, Russian Math. Surveys, 73:2 (2018) 323-353.
    A. Skopenkov, Whitney trick for eliminating multiple intersections.
    Problem. Существуют ли (7) 7; \quad (8) 8; \quad (9) 9; \quad (10) 10; \quad
    точек пространства, при любом разбиении которых на 3 множества выпуклые оболочки некоторых двух из этих множеств не пересекаются?
    Примеры курсовых работ:
    * D. Yang, An elementary proof of Borsuk theorem, arXiv:1010.1990 (немного по другой теме).
    * N. Khoroshavkina, A simple characterization of graphs of cutwidth 2, arXiv:1811.06716.
    * E. Kolpakov, A `converse' to the Constraint Lemma, arXiv:1903.08910 (дипломная работа).
    * Е. Колпаков, Доказательство теоремы Радона при помощи понижения размерности, Мат. Просвещение, 23 (2018). arXiv:1903.11055.
    * V. Retinskiy, A. Ryabichev, A. Skopenkov, Motivated exposition of the proof of the Tverberg Theorem (in Russian). Mat. Prosveschenie, 27 (2021), 166-169. arXiv:2008.08361.
    * В. Ретинский и Д. Захаров, Фишки в вершинах дерева, draft.
    * A. Asanau, On the \lowercase{TRIPLE SELF-INTERSECTION NUMBER FOR GRAPHS IN THE PLANE,} draft.

    Зацепления и вложения

  • Linking in 3-space
    Introductory problems: \S4.1, \S4.8. A user's guide to knot and link theory, Contemp. Math, to appear.
    Примеры курсовых работ:
    * E. Kogan, Linking of three triangles in 3-space, arXiv:1908.03865.
    * T. Garaev. Elementary proof of existence of the Alexander-Conway polynomial. arXiv:2012.03086.
    * A. Asanau, \lowercase{A SIMPLE PROOF THAT CONNECTED SUM OF ORDERED ORIENTED LINKS IS NOT WELL-DEFINED,} Math. Notes, accepted.
  • Realizability of hypergraphs and Ramsey link theory
    Presentation; full text. Подробнее: Параграфы 1 и 5. Introductory problems.
    A. Skopenkov, Realizability of hypergraphs is undecidable: arXiv:2008.00492.
    Пример курсовой работы: A. Zimin, Alternative proofs of the Conway-Gordon-Sachs Theorems, arXiv:1311.2882.
    Примеры дипломных работ:
    * R. Karasev, A. Skopenkov, Some `converses' to intrinsic linking theorems arXiv:2008.02523 (жаль, что это написали мы с РН, а не студент).
    * E. Alkin, Hardness of almost embedding simplicial complexes in R^d, II, draft.
    Пример PhD thesis (IST Austria, 2017, S. Parsa): A. Skopenkov, A short exposition of S. Parsa's theorems on intrinsic linking and non-realizability, arXiv:1808.08363.
    Примеры:
    * E. Kogan and A. Skopenkov, A short exposition of the Patak-Tancer theorem on non-embeddability of k-complexes in 2k-manifolds, arXiv:2106.14010.
    * E. Kogan and A. Skopenkov, Embedding of k-complexes in 2k-manifolds and minimum rank of partial symmetric matrices, arXiv:2112.06636.
  • Заузливание многомерных многообразий
    Зацепления: \S4.
    A. Skopenkov, Embeddings in Euclidean space: an introduction to their classification, to appear in Bull. Man. Atl.
    Примеры дипломных работ
    * (НМУ, 2014) S. Avvakumov, The classification of certain linked 3-manifolds in 6-space, Moscow Math. J., 16:1 (2016), 1-25. arXiv:1408.3918.
    * (матфак ВШЭ, 2021) М. Fedorov, A description of values of Seifert form for punctured n-manifolds in (2n-1)-space, arXiv:2107.02541
    Примеры возможных кандидатских диссертаций (или глав в них):
    * D. Tonkonog, Embedding punctured n-manifolds in Euclidean (2n-1)-space, arXiv:1010.4271.
    * S. Avvakumov, The classification of linked 3-manifolds in 6-space, submitted, arXiv:1704.06501.
    Пример введения в дипломную работу или кандидатскую диссертацию: M. Fedorov, Embeddings of manifolds with boundary: classification (версия от июня 2020 - курсовая работа); Some calculations involving configuration spaces of distinct points.
    Пример кандидатской диссертации (МГУ, 2008): М.Б. Скопенков, Классификация зацеплений и ее применения.

    Теорема Колмогорова-Арнольда о суперпозициях / On Hilbert's 13th problem on superpositions

    Базисность плоских множеств / Basic planar sets.
    13я Проблема Гильберта о суперпозициях функций / 13th Hilbert Problem on superpositions of functions.
    Вводные задачи: стр. 13-14. Basic embeddings and Hilbert's 13th problem on superpositions (in Russian). Basic embeddings and Hilbert's 13th problem on superpositions.
    Примеры курсовых работ:
    * I. Reshetnikov, Decomposition of number arrangements in the cube, arXiv:1412.8078; см. также K. Nurligareev, I. Reshetnikov, Finite basic sets and Hilbert’s thirteenth problem. Preprint.
    * S. Dzhenzher and A. Skopenkov, A structured proof of the Kolmogorov superposition theorem, arXiv:2105.00408.
    Пример дипломной работы
    * S. Dzhenzher, A simpler proof of the Sternfeld theorem, arXiv:2110.15565.
    Пример главы в кандидатской диссертации (МГУ, 2003): V. Kurlin, Basic embeddings into a product of graphs, Topology and Its Applications, 102:2 (2000), 113-137.

    Алгоритмы решения алгебраических уравнений

    Сложность решения уравнений / Complexity of solving equations.
    К алгоритмам решения алгебраических уравнений / Toward algorithms of solving of algebraic equations.
    Some more proofs from the Book: solvability and insolvability of equations in radicals. Еще несколько доказательств из Книги: разрешимость и неразрешимость уравнений в радикалах.
    Примеры курсовых работ:
    * А. Сафин, Программа для построения правильных многоугольников циркулем и линейкой draft, 2008.
    * D. Akhtyamov and I. Bogdanov, Solvability of cubic and quartic equations using one radical, arXiv:1411.4990.
    * E. Kogan, Set complexity of construction of a regular polygon, arXiv:1711.05807, Мат. Просвещение, 23 (2019).

    Другие задачи для исследования (в т.ч. учебные)

    Их можно найти в заметках и в материалах Московской математической конференции школьников. Среди них много задач, доступных и интересных студентам и школьникам, занимающимся программированием и компьютерной наукой.