Задачи для исследования студентам (мат. практикум ФИВТ МФТИ) и школьникам / Introductory research problems

If you solve some introductory exercises on some topic, then we can meet and discuss future work. Write to my address sk*penk*@mccme.ru, *=o.
Если Вы решите несколько вводных задач по какой-либо теме, то я буду рад встретиться с Вами или выступить на семинаре с Вашим участием. Напишите мне по sk*penk*@mccme.ru, где *=o.
Ученики `Интеллектуала' могут подойти ко мне на уроки или в перемену между ними (в кабинет или учительскую).
Even if some papers below are listed, there still remain interesting research problems on the corresponding subject.

Утолщения графов и гиперграфов

  • Реализуемость графов на поверхностях.
    Вводные задачи в п. 1.4, 1.5, 2.2-2.5, основные в п. 2.9 `Реализуемость утолщений'.
    Пример одного из основных результатов докторской диссертации (МГУ, 2008, В.О. Мантуров, теорема 10): A. Skopenkov, Embeddings into the plane of graphs with vertices of degree 4, Мат. Просвещение, 21 (2017), 197-204, arXiv:1008.4940.
  • Степенные последовательности (п. 2.11) и тета-гамильтоновость (п. 2.12).
  • Поверхности из квадратиков / Surfaces made by squares.
    Приведите четкие формулировки, полные доказательства и обобщения гипотез работы (по ошибке названных теоремами).
    Give rigorous statements, complete proofs and generalizations of conjectures of the paper (which were called theorems by mistake).
  • Утолщения гиперграфов.
    Параграф 6.
    Примеры возможной главы в кандидатской диссертации: D. Tonkonog, Embedding 3-manifolds with boundary into closed 3-manifolds, arXiv:1003.3029.

    Кратные пересечения в геометрической топологии, топологической комбинаторике и комбинаторной геометрии

    Параграфы 2 `Кратные пересечения в комбинаторной геометрии' и 5.9 `Теоремы Радона и Тверберга'.
    A. Skopenkov, A user's guide to the topological Tverberg conjecture, Russian Math. Surveys, 73:2 (2018) 323-353.
    J. A. De Loera, T. A. Hogan, D. Oliveros, D. Yang, Tverberg-Type Theorems with Trees and Cycles as (Nerve) Intersection Patterns.
    A. Skopenkov, Whitney trick for eliminating multiple intersections.
    Примеры курсовых работ:
    * D. Yang, An elementary proof of Borsuk theorem, arXiv:1010.1990 (по другой теме).
    * A. Asanau, On the \lowercase{TRIPLE SELF-INTERSECTION NUMBER FOR GRAPHS IN THE PLANE,} draft, 2018.
    * N. Khoroshavkina, A simple characterization of graphs of cutwidth 2, arXiv:1811.06716.
    * Е. Колпаков, Доказательство теоремы Радона при помощи понижения размерности, Мат. Просвещение, 23 (2018). arXiv:1903.11055.
    * E. Kolpakov, A `converse' to the Constraint Lemma, arXiv:1903.08910.
    * В. Ретинский и Д. Захаров, Фишки в вершинах дерева, draft, 2017.

    Зацепления и вложения

  • Linking in 3-space.
    Introductory problems: \S4.1, \S4.8. A user's guide to knot and link theory.
    Примеры курсовых работ:
    * E. Kogan, Linking of three triangles in 3-space, arXiv:1908.03865.
    * A. Asanau, \lowercase{A SIMPLE PROOF THAT CONNECTED SUM OF ORDERED ORIENTED LINKS IS NOT WELL-DEFINED,} Math. Notes, to appear.
  • Realizability of hypergraphs and Ramsey link theory
    presentation; full text.
    Подробнее: Параграфы 1 и 5. Introductory problems.
    Пример курсовой работы: A. Zimin, Alternative proofs of the Conway-Gordon-Sachs Theorems, arXiv:1311.2882.
    Пример PhD thesis (IST Austria, 2017, S. Parsa): A. Skopenkov, A short exposition of S. Parsa's theorems on intrinsic linking and non-realizability, arXiv:1808.08363.
  • Реализуемость косых произведений графов.
    Пункт 5.8.3 параграфа 5 `Реализуемость гиперграфов' (предыдущий материал вводный).
  • Многомерные зацепления и вложения.
    Вводные задачи: \S4, \S5.
    A. Skopenkov, Realizability of hypergraphs is undecidable: presentation.
    Пример кандидатской диссертации (МГУ, 2008): М.Б. Скопенков, Классификация зацеплений и ее применения.
    Пример дипломной работы (НМУ, 2014): S. Avvakumov, The classification of certain linked 3-manifolds in 6-space, Moscow Math. J., 16:1 (2016), 1-25. arXiv:1408.3918.
    Примеры возможных (глав в) кандидатских диссертациях:
    * D. Tonkonog, Embedding punctured n-manifolds in Euclidean (2n-1)-space, arXiv:1010.4271.
    * S. Avvakumov, The classification of linked 3-manifolds in 6-space, submitted, arXiv:1704.06501.

    Игра Колмогорова-Арнольда и суперпозиции / On Hilbert's 13th problem on superpositions

    Базисность плоских множеств / Basic planar sets.
    13я Проблема Гильберта о суперпозициях функций / 13th Hilbert Problem on superpositions of functions.
    Вводные задачи: стр. 13-14. Basic embeddings and Hilbert's 13th problem on superpositions (in Russian). Basic embeddings and Hilbert's 13th problem on superpositions.
    Пример курсовой работы: I. Reshetnikov, Decomposition of number arrangements in the cube, arXiv:1412.8078.
    Пример главы в кандидатской диссертации (МГУ, 2003): V. Kurlin, Basic embeddings into a product of graphs, Topology and Its Applications, 102:2 (2000), 113-137.

    Разводимость путей на плоскости / Stability of intersections of paths in the plane

    Параграф 3 `Устойчивость самопересечений графов на плоскости'.
    Устойчивость пересечений путей на плоскости / Stability of intersections of paths in the plane. Вводные задачи в первом пункте, основные в его конце.
    A. Skopenkov, Stability of intersections of graphs in the plane and the van Kampen obstruction, Topol. Appl. 240 (2018) 259-269, arXiv:1609.03727.

    Алгоритмы решения алгебраических уравнений

    Сложность решения уравнений / Complexity of solving equations.
    К алгоритмам решения алгебраических уравнений / Toward algorithms of solving of algebraic equations.
    Some more proofs from the Book: solvability and insolvability of equations in radicals. Еще несколько доказательств из Книги: разрешимость и неразрешимость уравнений в радикалах.
    Примеры курсовых работ:
    * А. Сафин, Программа для построения правильных многоугольников циркулем и линейкой draft, 2008.
    * D. Akhtyamov and I. Bogdanov, Solvability of cubic and quartic equations using one radical, arXiv:1411.4990.
    * E. Kogan, Set complexity of construction of a regular polygon, arXiv:1711.05807, Мат. Просвещение, 23 (2019).

    Дружественность деревьев / Friendliness between trees

    См. стр. 1-3.
    Примеры курсовых работ:
    * A. Rukhovich, On intersection of two embedded spheres in 3-space, Topol. Appl. 170 (2014) 96-103, arXiv:1012.0925.
    * S. Avvakumov, How do curved spheres intersect in 3-space? Topol. Appl. 172 (2014) 87-94, arXiv:1210.7361.
    * V. Belousov, A smaller counterexample to the Lando conjecture, arXiv:1311.3086.
    * D. Kolodzey, On friendliness between trees, arXiv:1509.00370.

    Другие задачи для исследования (в т.ч. учебные)

    Их можно найти в заметках и в материалах Московской математической конференции школьников. Среди них много задач, доступных и интересных студентам и школьникам, занимающимся программированием и компьютерной наукой.

    Последнее обновление 7.03.2020.