Домашние задания
(МММФ, суббота, 14 часов 45 минут)

Раздавать проверенные задания будем примерно раз в месяц. Ни в коем случае не надо делать их в общей тетради: очень трудно носить тяжести! Лучше всего — в тонких тетрадях. Не забывайте подписывать работы! Указывайте класс, школу, фамилию, имя, время начала занятия (14-45) и аудиторию (14-08).

25 сентября

2.7. Лихие капитаны парусников, перевозивших хлопок из Австралии в Англию, не загружали полностью свои корабли, хотя были заинтересованы в перевозке большего количества хлопка. Почему?

2.8. а) Двое играют, передвигая короля по шахматной доске. Допускаются ходы на одно поле влево, вниз или по диагонали влево-вниз. Выигрывает тот, кто ставит короля на поле a1. При каких начальных положениях короля выигрывает начинающий, а при каких — его партнёр?

б) Имеются две кучи камней. Двое играющих берут по очереди камни. Разрешено брать один камень из любой кучи или по одному камню из обеих куч. Выигрывает взявший последние камни. Исследуйте эту игру.

2.9. Ладья стоит на поле a1. За ход разрешено сдвинуть её на любое число количество клеток вправо или на любое число клеток вверх. Выигрывает тот, кто поставит ладью на поле h8. У кого есть выигрышная стратегия?

2.10. Саша и Оля по очереди ставят крестики и нолики на поля шахматной доски размером 9×9. Первый ход делает Оля в центр доски. Саша ходит в одну из 8 свободных клеток, которые окружают Олин ход, и так далее. Ходить можно только в свободные клетки, граничащие хотя бы с одной из клеток, в которые уже во время игры был сделан ход. Выигрывает тот, кто поставит свой знак в одну из четырёх угловых клеток (или же противнику после его хода некуда ходить). Докажите, что Оля всегда может выиграть.

2.11. Алёша Попович и Добрыня Никитич воюют девятиглавого змея. По очереди богатыри ходят к его пещере и отрубают одну, две или три головы. а) Как начавшему бой Алёше обрести славу победителя змея, то есть отрубить последнюю голову? б) А если змей двенадцатиглавый?