На главную страницу ЛШСМ-2005

Вадим Олегович Бугаенко

Обобщенная теорема Ван дер Вардена

В.О.Бугаенко планирует провести 1-2 занятия.

Имеются записки!

Программа курса

Рассмотрим две следующие задачи.

1. Плоскость раскрашена в n цветов. Доказать, что существует квадрат с вершинами одного цвета.

   Эта на первый взгляд обычная олимпиадная задача на тему "Раскраски" неожиданно оказывается очень непростой — попытайтесь ее решить и убедитесь в этом сами.

2. Натуральный ряд раскрашен в n цветов. Доказать, что найдется арифметическая прогрессия сколь угодно большой конечной длины, члены которой окрашены в один цвет.

   Это утверждение называется теоремой Ван дер Вардена. Историю ее возникновения, а также ее доказательство можно найти в замечательной книге А.Я.Хинчина "Три жемчужины теории чисел". Однако, это доказательство, хоть и элементарное, но очень непростое.

Будет доказана следующая теорема, являющаяся обобщением утверждений обеих задач.

На плоскости, раскрашенной в n цветов, выбрано конечное множество точек. Тогда существует подобное ему одноцветное множество.

Мы сталкиваемся с одним из тех удивительных случаев, когда обобщение теоремы позволяет упростить ее доказательство. В отличие от вырожденного одномерного случая, каковым является теорема Ван дер Вардена, доказательство общего случая становится геометрически наглядным, и это существенно упрощает его понимание.

Для понимания не требуется никаких знаний, выходящих за рамки школьной программы. Изложение будет доступно школьникам 10 класса.