На главную страницу ЛШСМ-2013 К списку курсов ЛШСМ-2013

Марина Файвушевна Прохорова

Гладкие многообразия и гомотопические группы сфер

М.Ф.Прохорова планирует провести 4 занятия.

Важным алгебраическим инвариантом топологического пространства X является множество πn(X) гомотопических классов непрерывных отображений n-мерной сферы Sn (два отображения считаются эквивалентными, если их можно непрерывно продеформировать одно в другое). Это множество обладает естественной структурой группы и называется n-ой гомотопической группой пространства X .

Оказывается, что в случае, когда пространство X само является сферой, гомотопические группы тесно связаны с совсем другим разделом топологии: дифференциальной топологией, изучающей гладкие многообразия и их гладкие отображения. Я расскажу про конструкцию Л.С.Понтрягина, связывающую группу πn+k(Sn) с k-мерными гладкими подмногообразиями в (n+k)-мерном векторном пространстве, снабжёнными дополнительной структурой. В середине прошлого века эта конструкция позволила вычислить πn+k(Sn) для k≤3. Я расскажу про вычисления для k=0,1.

Программа курса

  1. Гомотопические группы топологического пространства.
  2. Гладкие многообразия и гладкие отображения. Касательное и нормальное расслоения.
  3. Оснащённые многообразия и их связь с гомотопическими группами сфер.
  4. Гомотопическая классификация отображений n-мерных многообразий в n-мерную сферу. Степень отображения.
  5. Гомотопическая классификация отображений (n +1)-мерной сферы в n-мерную сферу.

Для понимания курса необходимо знакомство с следующими понятиями: топологические пространства и непрерывные отображения, n-мерное векторное пространство, дифференцируемые функции нескольких переменных.

Курс основан на книге Л.С.Понтрягина «Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий».