Для большого числа $N$ зададимся вопросами:
- Какова доля натуральных чисел $n=1,2, \dots, N$, имеющих простой делитель, больший чем $\sqrt n$?
- Рассмотрим все перестановки из $N$ элементов. Сколько из них имеют цикл длины больше, чем $N/2$?
Более глобально, нас будет интересовать:
- Как выглядит (типичное) разложение на простые множители случайного (от $1$ до $N$) натурального числа?
- Как выглядят (типичные) длины циклов случайной перестановки из $N$ элементов?
В таком виде даже не совсем понятно, как может выглядеть ответ —
ведь простых делителей и циклов может быть много (скажем, порядка $N$), а может
быть мало (порядка константы).
Основная цель курса — сформулировать и обосновать ответ на эти вопросы.
Для этого нам потребуется познакомиться с понятием пуассоновского процесса. В жизни мы сталкиваемся с пуассоновскими процессами очень часто, например:
- когда ждем автобуса, который ходит не по расписанию,
- когда смотрим на звездное небо (особенно если из случайной точки вселенной),
- когда к нам приходят сообщения в социальных сетях (при условии, что у нас много друзей и они нам часто пишут без особого повода),
- когда изучаем радиоактивный распад,
- когда смотрим на капли на асфальте после дождя.
Мы изучим некоторые базовые свойства пуассоновских процессов, что будет
и любопытно само по себе, и поможет ответить на упомянутые выше вопросы про
разложения на простые множители и перестановки.
Программа курса
- Длины циклов перестановки $N$ элементов. Сходимость к процессу «ломания палки». Краткое изложение необходимых сведений из теории вероятностей.
- Пуассоновский процесс — определение и базовые свойства.
- Процесс Пуассона–Дирихле. Сходимость упорядоченных длин циклов случайной перестановки к процессу Пуассона–Дирихле при $N \to \infty$.
- Сходимость упорядоченных простых множителей случайного числа к процессу Пуассона–Дирихле.
По курсу предполагается выдача листочков с задачами.
Для понимания курса желательно что-то слышать о производной и интеграле.
Предварительные знания из теории вероятностей не предполагаются.
Материалы
