на главную страницу ЛШСМ-2015 к списку курсов ЛШСМ-2015

Наталия Борисовна Гончарук,
Юрий Георгиевич Кудряшов

Группы Шоттки

Н. Б. Гончарук и Ю. Г. Кудряшов планируют провести 4 занятия.

Параллельный перенос, поворот, поворотная гомотетия, композиция инверсии и осевой симметрии — частные случаи дробно-линейных отображений комплексной плоскости (в общем случае дробно-линейное отображение плоскости — это отображение, при котором точка $z=x+iy$ переходит в точку $\frac{az+b}{cz+d}$).

Как известно, инверсия выворачивает круг наизнанку: то, что было внутри, оказывается снаружи, и наоборот.

Говорят, что набор дробно-линейных отображений $f_1,\ldots,f_g$ порождает группу Шоттки, если есть набор замкнутых жордановых кривых $\gamma_1,\ldots,\gamma_g$, таких что:

  1. Области, ограниченные кривыми $\gamma_j$, не пересекаются.
  2. Под действием отображения $f_j$ точки внутри $\gamma_{2j-1}$ оказываются снаружи $\gamma_{2j}$, а точки снаружи $\gamma_{2j-1}$ — внутри $\gamma_{2j}$.

Группа, порождённая отображениями $f_j$ — это множество всевозможных композиций отображений $f_j$ и обратных к ним. Оказывается, в группе Шоттки длинные композиции ведут себя так: бо́льшую часть плоскости переводят внутрь очень маленькой области.

γ₁ γ₂ γ₃ γ₄

Кривые $\gamma_j$ (окружности) и их образы под действием отображений из группы Шоттки, $g=2$

В курсе мы расскажем, как группа Шоттки связана с:

Кроме того, мы расскажем ответы на следующие вопросы:

Предполагается, что слушатели умеют выполнять арифметические действия с комплексными числами. Курс будет понятен школьникам.

Материалы