на главную страницу ЛШСМ-2015 к списку курсов ЛШСМ-2015

Георгий Борисович Шабат

Как посчитать детские рисунки?

Г. Б. Шабат планирует провести 4 занятия.

Детские рисунки (dessins d'enfants) — термин, введённый Александром Гротендиком в 70-е годы прошлого века. С «детской» точки зрения этот термин означает граф, вложенный в поверхность; с взрослой — это объект, в котором закодированы различные структуры, относящиеся к далёким друг от друга областям математики.

Под подсчётом детских рисунков понимается подсчёт количества детских рисунков ограниченной сложности, которая будет определена. Чтобы получать красивые ответы, рисунки надо считать не просто в штуках, а с весами, обратными количествам симметрий; это не сильно влияет на ответы, поскольку у большинства рисунков нетривиальных симметрий нет.

В последние годы были получены замечательные результаты о количествах детских рисунков. Элементарная часть этих результатов будет изложена в курсе. В качестве одного из приложений будет рассказано о распределении склеек чётноугольников по родам; будет показано, что все нужные формулы можно извлечь из разложения в ряд функции $\bigl(\frac{1+y}{1-y}\bigr)^x$. В последней лекции будет предпринята попытка рассказать о связях теории детских рисунков с другими разделами математики.

Для понимания основной части курса не надо знать ничего, но надо быть готовыми заниматься довольно трудной математикой. Понимание последней лекции потребует некоторых представлений об арифметической геометрии, топологии и комплексном анализе.

Программа курса

  1. Определение деткого рисунка. Постановка задач перечисления.
  2. Рисунки и тривалентные цветные графы. Рекурсия Зографа.
  3. Дискретно-метризованные ленточные графы и рекурсия Норбери. Формула Харера–Цагира.
  4. Детские рисунки и арифметическая геометрия.

Материалы

  1. листок 1
  2. листок 2
  3. листок 3