Алексей Игоревич Буфетов

Цель данного курса – показать, как вероятностные методы и интуиция помогают отвечать на теоретико-числовые вопросы. Я расскажу про два существенно разных сюжета.

1. Правильные гипотезы

Верно ли, что простых чисел-близнецов бесконечно много? Верно ли, что любое четное число раскладывается в сумму двух простых? Ответы на эти вопросы, формально говоря, еще не получены. Однако, существуют правдоподобные гипотезы, дающие куда более точную информацию: так, если $B(n)$ — количество простых чисел-близнецов, меньших $n$, то $\lim_{n \to \infty} B(n) / C \frac{n}{\ln^2 n} = 1$ (значение константы $C$ также предсказывается). Эта гипотеза следует из простых вероятностных соображений и подтверждается численными данными. Вероятностные «прикидки» позволяют сделать предположения и в ряде других известных вопросов (например, гипотеза Гольдбаха, гипотеза Римана), которые тоже подтверждаются численными экспериментами.

Кажется странным, что в детерминированной ситуации (число уж либо простое, либо нет) оказывается полезным вероятностный подход. Причину можно попытаться описать следующим образом: простые числа определяются свойствами относительно умножения, а относительно сложения никакой ощутимой «структуры» у них нет. Поэтому относительно сложения они ведут себя «случайным» образом.

2. Типичное число простых множителей натурального числа

Пусть $w(n)$ — число различных простых делителей натурального числа $n$. Выберем $n$ равномерно случайно из $\{1,2,\dots, N \}$ для большого $N$. Чему равно типичное значение $w(n)$?

Оказывается, для почти всех $n$ мы имеем $w(n) \approx \ln \ln n$. Более того, мы докажем теорему Эрдеша-Каца для $w(n)$. Эта теорема утверждает, что $w(n)- \ln \ln n$ имеет порядок $\sqrt{\ln \ln n}$ и описывается гауссовским распределением.

На этом материале мы познакомимся с базовыми теоремами теории вероятностей: законом больших чисел и центральной предельной теоремой.

Программа

1. Базовые понятия: конечное вероятностное пространство, случайные величины, независимость. Множество $\{ 1,2, \dots, N \}$ как вероятностное пространство. Делимость на различные простые как (асимптотически) независимые события. Вероятностная модель Крамера простых чисел.
2. Улучшенная модель Крамера. Гипотезы: асимптотика количества простых чисел-близнецов, асимптотика количества разложений четного числа в сумму двух простых.
3. Закон больших чисел и центральная предельная теорема для бернуллиевских величин. Эквивалентная формулировка гипотезы Римана: функция Мебиуса «случайна».
4. Теорема Эрдеша-Каца: почти всякое натуральное число $n$ имеет примерно $\ln \ln n$ простых делителей. Более того, число простых делителей удовлетворяет центральной предельной теореме.

По курсу предполагается выдача листочков с задачами. Никаких предварительных знаний по теории вероятностей и теории чисел не предполагается.

Материалы

• листок 1
• листок 2