Теория кодирования — это отличный повод поговорить о красивых
задачах из алгебры и комбинаторики, о линейной алгебре и алгебраической
геометрии над конечными полями, конечных геометриях, простых группах и
алгоритмах, связанных с передачей информации.
Программа курса
- Основные задачи теория кодирования. Коды, исправляющие ошибки. Расстояние
Хемминга и неравенство треугольника. Предварительные сведения из алгебры.
Строение конечных полей.
- Линейная алгебра над конечными полями. Линейные коды и их характеристики.
Код Хемминга. Совершенные коды. Двойственный код и тождество Мак-Вильямса.
Эквивалентность кодов. Методы вычисления минимального расстояния для
подпространства.
- Циклические коды и главные идеалы. Алгеброгеометрические коды. Грассманианы
и плюккеровы координаты. Грассмановы коды и минимальные расстояния. Точки на
минимальной сфере.
- Алгоритмы декодирования. Синдромы и минимальные представители. Коды Голея.
Конечные геометрии и группы Матье.
Список литературы
- С.Г.Влэдуц, Д.Ю.Ногин и М.А.Цфасман. Алгеброгеометрические коды. М.: МЦНМО, 2003.
- Дж.Конвей и Н.Слоэн. Упаковки шаров, решетки и группы. М.: Мир, 1990.
- Р.Лидл и Г.Нидеррайтер. Конечные поля. М.: Мир, 1988.
- Some Tapas of Computer Algebra. A.Cohen, H.Cuypers, H.Sterk (Eds.), Springer, 1999.
Материалы
