на главную страницу ЛШСМ-2016 к списку курсов ЛШСМ-2016

Илья Игоревич Богданов

Покрытия арифметическими прогрессиями

И. И. Богданов планирует провести 3-4 занятия.

Основной предмет, изучающийся в курсе — покрытие множества всех целых чисел конечным числом арифметических прогрессий. Поскольку каждая прогрессия из целых чисел задаётся сравнением вида $x\equiv a\pmod m$, часто говорят о покрытиях системой сравнений.

Вопросы, в которых оказываются полезными такие покрытия, возникают в разных областях математики. Мы, в частности, поговорим о следующих вопросах:

  1. Конечно или бесконечно множество нечётных чисел, не представимых в виде суммы или разности степени двойки и простого числа?
  2. Вершины правильного нечётноугольника разбиты на несколько множеств, каждое также является множеством вершин правильного многоугольника. Тогда среди полученных многоугольников есть три равных.
  3. При каких целых $d$ существует многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами ($f(1)\neq -d$) такой, что при всех $n$ многочлен $x^nf(x)+d$ раскладывается в произведение двух многочленов с целыми коэффициентами (отличных от $\pm1$)?

Мы увидим, что первые два вопроса решаются автоматически после введения правильного языка. Третий же (не решённый до сих пор) тесно связан с одной из самых известных гипотез в изучаемой области.

Структура покрытий прогрессиями весьма богата и сложна (а также интересна) для изучения. Мы увидим, как можно (и нужно!) один и тот же объект описать на совершенно различных языках — комбинаторном, теоретико-числовом, алгебраическом и т. п. Каждый из таких подходов приносит свои плоды (а также приводит к постановке новых открытых вопросов).

От слушателей предполагается знакомство с комплексными числами и Китайской теоремой об остатках.

Материалы