8 августа 1900 года Давид Гильберт сделал на Втором Математическом конгрессе доклад
(см. [1, с. 13–64],
представив слушателям ставший с тех пор знаменитым список проблем столетия.
За прошедшие сто с лишним лет большая их часть была решена — и, что важнее, в ходе
их решения появились новые сюжеты и новое понимание.
Я собираюсь затронуть несколько из них и обсудить, в каком контексте они
формулировались и куда продвинулось наше понимание за эти сто лет. Этот курс
предполагается обзорным и адресованным школьникам (в частности, он не
предполагает предварительных сведений).
Программа-максимум
- 10-я проблема (и теорема Матиясевича): «как программировать многочлены»?
Почему есть многочлен от нескольких переменных, у которого положительная
часть множества его значений в точках с натуральными координатами
это в точности множество всех простых чисел?
- 13-я проблема: самый знаменитый связанный с нею результат — это
(совершенно парадоксальная по формулировке) теорема Колмогорова-Арнольда:
оказывается, любая непрерывная функция от трех переменных
(из $[0,1]^3$ в $[0,1]$) представляется в виде композиции непрерывных функций
двух переменных. Более того, можно обойтись лишь функциями одной переменной,
и функцией суммы!
Но начиналось все с алгебраических функций. А почему вообще
две и три переменные, и почему Гильберт явно оговаривает функцию,
задающую решение уравнения $x^7+ax^2+bx+c=0$?
- алгебраическая часть 16-й проблемы: каким бывает множество $P(x,y)=0$ для
многочлена P степени n, как все эти примеры можно строить? Гипотеза Арнольда,
теорема Гудкова, склейка Виро, и тропическая геометрия.
- 8-я проблема Гильберта: почти все, скорее всего, слышали о гипотезе Римана.
А почему она интересна (и даже, через сто лет после Гильберта, попала в
список из семи проблем тысячелетия)?
- 3-я проблема Гильберта: равносоставленность тел. На плоскости, как утверждает
теорема Бойяи—Гервина, любые два многоугольника равной площади равносоставлены —
можно разрезать один из них на части-многоугольники и передвинуть их так, что
получится второй. А что будет в пространстве?
[1] Проблемы Гильберта.
Сборник под общей редакцией П. С. Александрова (М., 1969, 240 с.)
