на главную страницу ЛШСМ-2018 к списку курсов ЛШСМ-2018

Антон Викторович Джамай

Уравнения и симметрии

(или некоторые темы из абстрактной алгебры)

А. В. Джамай планирует провести 4 занятия.

Целью этого элементарного курса, рассчитанного на школьников, является познакомить слушателей с некоторыми основными и очень красивыми идеями современной абстрактной алгебры. Начиная с элементарных примеров, мы введем понятия группы, кольца, и поля, и заодно посмотрим на некоторые неожиданные свойства простых уравнений в кольцах. После этого мы рассмотрим разные примеры групп, таких как группы симметрий правильных многоугольников и многогранников, или группы перестановок. Мы увидим как можно записать операцию в группе с помощью таблиц Кэли, и посмотрим на более наглядное представление структуры группы с помощью диаграмм Кэли. Мы также рассмотрим примеры действия групп и связанные с этим понятия, а также некоторые красивые приложения (такие как счетная лемма Бернсайда).

После этого мы вернемся к теории уравнений, заданных многочленами. Начиная с уравнения, у которого нет корней, мы посмотрим, как можно (минимальным образом) расширить понятие «числа» так, чтобы эти корни появились. После этого мы рассмотрим симметрии получившегося алгебраического объекта и увидим, как эти симметрии помогают понять внутреннюю структуру нашей конструкции. Эти примеры принадлежат одной из самых элегантных современных математических теорий — теории Галуа.

Курс не требует предварительного знакомства с абстрактной алгеброй. Полезно знать такие базовые вещи как класс и отношение эквивалентности, арифметика вычетов и алгоритм Евклида, но мы их быстро повторим в процессе.

Материалы