на главную страницу ЛШСМ-2018 к списку курсов ЛШСМ-2018

Александр Александрович Гайфуллин

Равносоставленность многогранников и гомологии групп

А. А. Гайфуллин планирует провести 4 занятия.

Классическая теорема Бойяи–Гервина (1830-е годы) утверждает, что любые два многоугольника равной площади равносоставлены друг с другом: первый многоугольник можно разрезать на конечное число многоугольных частей и затем сложить из этих частей второй многоугольник. Ещё Гаусс задавал вопрос, верно ли аналогичное утверждение для многогранников. А именно, его интересовало, можно ли доказать стандартную формулу для объёма пирамиды (одна треть произведения длины высоты на площадь основания) без использования предельного перехода, то есть разбив пирамиду на конечное число кусков, из которых можно сложить прямоугольный параллелепипед.

Позже задача о равносоставленности многогранников была включена Гильбертом в его знаменитый список проблем под номером три. Забавный факт заключается в том, что к этому моменту задача была уже решена Деном (о чём Гильберт не знал). Ден построил серию инвариантов равносоставленности; в настоящее время их обычно объединяют в один инвариант, называемый инвариантом Дена. После этого он показал, что, например, куб и правильный тетраэдр равного объёма неравносоставлены, так как их инварианты различны.

Замечательная теорема Сидле (1965) утверждает, что равенство объёмов и инвариантов Дена двух трёхмерных многогранников — не только необходимое, но и достаточное условие их равносоставленности. Доказательство этой теоремы открыло удивительную связь равносоставленности многогранников с важной областью современной алгебры — теорией гомологий групп.

Примерный план курса:

  1. Теорема Больяи–Гервина о равносоставленности многоугольников.
  2. Теорема Дена–Сидле о равносоставленности многогранников.
  3. Гомологии групп. Группа равносоставленности. Её связь с гомологиями группы SO(3).
  4. Если хватит времени, постараюсь рассказать о недавнем моём (совместно с Л. С. Игнащенко) доказательстве сильной гипотезы о кузнечных мехах, утверждающей, что всякий изгибаемый многогранник остаётся в процессе изгибания равносоставленным с самим собой в начальный момент времени.

Пункты 1 и 2 не требуют от слушателей никаких предварительных знаний и будут полностью доступны школьникам. Для понимания пункта 3 достаточно минимального знакомства с понятием группы; знакомство с гомологиями не предполагается. Пункт 4 (если до него дойдёт дело) потребует некоторого знакомства с понятием аналитической функции комплексного переменного.

Материалы