Иван Вадимович Лосев

Числа Каталана — важный комбинаторный объект со множеством разных интерпретаций и вариаций. В этих лекциях мы сконцентрируемся на рациональных числах Каталана и их q- и (q,t)- деформациях. Такие числа параметризуются парой (a,b) взаимно-простых натуральных чисел, случай классических чисел Каталана соответствует a=n и b=n+1.

Замечательное наблюдение, принадлежащее Марку Хэйману, состоит в том, что классические числа Каталана и их деформации допускают алгебро-геометрическую интерпретацию в терминах геометрии схем Гильберта точек на плоскости. Эта схема Гильберта параметризует идеалы коразмерности n в алгебре многочленов C[x,y] и очень важна в разных областях математики, включая теорию представлений и теорию узлов. Основная цель этого курса — это объяснить связь между схемой Гильберта и (деформированными) числами Каталана. Необходимые сведения из алгебраической геометрии будут объяснены по ходу дела.

Предварительный план

1. Рациональные числа Каталана и их q- и (q,t)-деформации.
2. Аффинные и проективные алгебраические многообразия.
3. Схема Гильберта и ее нильпотентная часть. Интерпретация чисел Каталана в терминах нильпотентной части схемы Гильберта точек на плоскости.

Занятие 1 будет элементарным. Для занятий 2 и 3 нужны сведения из абстрактной алгебры (кольца, идеалы, фактор-кольца, гомоморфизмы) и линейной алгебры (векторные пространства, операторы, внешние степени, проективные пространства).