Ориентируемые поверхности (то есть, сферы с несколькими ручками), несмотря на кажущуюся простоту, таят много содержательных возможностей:
- поверхность можно склеить, вырезав подходящую развертку из плоскости Лобачевского. Отсюда один шаг до пространств Тейхмюллера.
- На поверхности можно рисовать непересекающиеся кривые, и даже заполнить ими (почти всю) поверхность. Отсюда один шаг до измеримых слоений.
- Наконец, как придумал У. Терстон, на поверхности можно проложить сеть железных дорог, чтобы удобнее было работать со слоениями, стянув их на железные дороги
Мы обсудим взаимную связь этих понятий и явлений.
Программа курса:
- Кривые на поверхности. Симплициальный комплекс кривых.
- Диффеоморфизмы поверхности, скручивания Дена (разрезать–скрутить–склеить), модулярная группа.
- Штаны (это основной инструмент курса)!!! Разрезание на штаны, гиперболические штаны, сшивание поверхности из штанов. Пространство Тейхмюллера.
- Измеримые слоения. Железные дороги (опять работают штаны). Родственная связь железных дорог и пространств Тейхмюллера. Карты в пространстве измеримых слоений. Действие модулярной группы.
Два года назад в Дубне был прочитан курс «Пространства Тейхмюллера», выгодно дополняющий данный курс (однако не предполагается, что слушатели непременно его изучили).
Пререквизиты: желательно (хотя бы поверхностное) знакомство с плоскостью Лобачевского, теорией групп (факторгруппа, действие группы), многомерными векторными пространствами.
