Михаил Анатольевич Цфасман

Какие объекты похожи на поле рациональных чисел $\mathbb Q$ и его кольцо целых чисел $\mathbb Z$ с их простыми числами и знакомой всем арифметикой? Один пример, — поля, являющиеся его конечными расширениями, как, например, гауссовы числа $\mathbb Q[i]$.

Но это не единственный пример. Куда удивительнее сходство $\mathbb Z$ с кольцом $Z={\mathbb F}_q [t]$, элементы которого суть многочлены с коэффициентами из конечного поля. У поля частных этого кольца также есть конечные расширения — поля функций на алгебраических кривых.

Сперва я расскажу, чем поля алгебраических чисел похожи на алгебраические кривые над конечным полем, и как алгебраическая геометрия связана с теорией чисел. А потом, как строить плотные упаковки равных шаров в пространствах большой размерности, используя кривые над конечным полем и поля алгебраических чисел.

Пререквизиты: для понимания заметной части моего рассказа надо знать только понятия многочлена и многомерного пространства, но время от времени в нем будут упоминаться и более сложные объекты алгебры, геометрии и математического анализа.