Георгий Борисович Шабат

Алгебраическая геометрия — трудный и абстрактный раздел математики, но некоторые её объекты определяются просто. Гиперповерхности задаются одним полиномиальным уравнением в проективном пространстве; они варьируются по степени и размерности.

С гиперплоскостями и квадриками, то есть гиперповерхностями степеней 1 и 2, «всё ясно». Настоящая алгебраическая геометрия начинается с кубик, гиперповерхностей степени 3. Здесь трудность возрастает с размерностью: теории кубических кривых и поверхностей (кубик размерностей 1 и 2) представляют собой законченные классические теории, 3-мерные кубики были освоены лишь несколько десятилетий назад, а 4-мерные кубики находятся на переднем крае современной алгебраической геометрии, и нерешённых вопросов о них больше, чем ответов.

В курсе будет рассказано о кубиках размерностей 1, 2, 3, 4; подробность будет монотонно убывать с размерностью.

Пререквизиты. Для понимания основной части лекций достаточно хорошей геометрической интуиции и владения стандартными понятиями алгебры; для некоторых частей потребуется владение определениями из «взрослой» математики, которые по возможности будут объяснены.

Примерная программа.

1. Терминология и основные понятия проективной алгебраической геометрии. 1-мерные кубики и эллиптические кривые: иррациональность, групповой закон, эллиптические интегралы. Пространство модулей.
2. Кубические поверхности как поверхности дель Пеццо. Раздутия точек на плоскости. Алгебраическая структура и 27 прямых. Пространство модулей.
3. Унирациональность и проблема Люрота. Промежуточный якобиан. Иррациональность 3-мерных кубик.
4. Проблема рациональности 4-мерных кубик. Примеры и гипотезы.