Книга для учителя	МЦНМО 2003

Глава 1.
Вычисления. Преобразование выражений

§ 1. Степень с натуральным, целым, рациональным показателем

Первую главу сборника составляют задачи на преобразование выражений и вычисления. Предполагается, что в результате изучения курса математики выпускники должны научиться в простейших случаях находить или оценивать значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений, сравнивать значения этих выражений между собой. В сборнике проверяется умение выполнять тождественные преобразования многочленов, алгебраических дробей, степенных, показательных, логарифмических, тригонометрических и иррациональных выражений. Последний термин не является общеупотребительным, хотя и встречается в некоторых курсах математики. Под иррациональными здесь понимаются выражения (функции), заданные формулами, составленными с помощью рациональных степеней чисел и переменных с использованием знаков четырех арифметических действий и радикалов (корней). Наряду с перечисленным учащийся должен показать умение проводить вычисления, связанные с нахождением или сравнением значений функций, а также с арифметической и геометрической прогрессиями.

При решении задачи на упрощение выражения, учащийся может не описывать область существования этого выражения и ее изменение в процессе упрощения. Если задание содержит требование упростить некоторое буквенное выражение и вычислить его значение при данных значениях букв, то эти значения подобраны так, что данное выражение при данных значениях существует как в неупрощенном, так и в упрощенном виде. Например, в задаче 1.2.A05 данное выражение существует при x = 0,5^{- 1}. В сборник не включались двусмысленные или провокационные задания вроде: «Упростите выражение

a^4/3 - 1

a^1/3 - 1

a + a^2/3

a^1/3

и вычислите его значение при a = - 2,3». Такое задание действительно является провокационным: ведь при указанном значении a данное выражение не определено, а результатом упрощения является выражение a+1, значение которого при a=-2,3 равно -1,3.

Форму записи при решении задач на упрощение выражений или вычисление их значений учащийся может выбрать сам (цепочка равенств, выполнение преобразований по действиям и т.п.).

Первые три параграфа первой главы посвящены преобразованиям выражений, содержащих степени с натуральными, целыми и дробными показателями, многочленов, дробно-рациональных выражений, иррациональных выражений. В приложении к сборнику содержатся некоторые формулы сокращенного умножения, но, естественно, нет трех основных формул сокращенного умножения и формул, связанных с действиями со степенями. Их, безусловно, учащиеся должны знать. Вообще очень важно объяснить выпускнику, что наличие справочника со всеми формулами не может быть гарантией успешной сдачи экзамена.

Решение задач на преобразование выражений предполагает, как правило, последовательное упрощение данных выражений. При этом используются свойства степеней и формулы сокращенного умножения. В некоторых случаях (при упрощении выражений, содержащих корни или степени с дробным показателем) целесообразно сделать замену переменной. При этом в качестве новой переменной выбирается переменная (буква) в степени, знаменатель которой является наименьшим общим кратным знаменателей, а числитель – наибольшим общим делителем числителей в показателях степеней этой переменной. Такая замена позволяет перейти к выражениям, содержащим только целые степени переменных (букв). В качестве примера рассмотрим решение задачи 1.3.B07 а).

1.3.B07

а) Упростите выражение

1-x⁶(x^-2,7-x^-2,3)(x^-3,3+x^-2,9+x^-2,5).

Решение. Сделаем замену переменной. Пусть y=x^-0,1. Выражение принимает вид1-y^-60(y²⁷-y²³)(y³³+y²⁹+y²⁵) =1-y^-60y²³y²⁵(y⁴-1)(y⁸+y⁴+1) =1-y^-12(y⁴-1)(y⁸+y⁴+1)=1-y^-12(y¹²-1) =1-1+y^-12=y^-12.

Сделаем обратную замену. Получим x^6/5.

Ответ:

x^6/5.

Упрощение выражений обычно сводится к приведению подобных членов и сокращению дробей после некоторых предварительных действий, важнейшим из которых является разложение на множители. Последнее, в свою очередь, заключается в выполнении одной или нескольких из следующих четырех «инструкций»:

1) сгруппируй слагаемые (пример: 13xy - 2ab - 7yx +3ab=(13xy - 7yx) + (3ab - 2ab)=6xy + ab),

2) вынеси за скобку (пример:

3xy - 7xz

3y - 7z

x(3y - 7z)

3y - 7z

3) примени формулу (пример:

9y⁴ - 4x²

2x + 3y²

(3y² + 2x)(3y² - 2x)

2x + 3y²

= 3y² - 2x

4) добавь и вычти (пример:

4a⁴ + 1

2a² - 2a+ 1

4a⁴ + 4a² + 1 - 4a²

2a² - 2a +1

(2a² + 1)² - (2a)²

2a² - 2a +1

(2a² + 1 - 2a)(2a² + 1 + 2a)

2a² - 2a +1

=2a² + 2a + 1

Рассмотрим краткие решения заданий 1.1.A01 б), 1.1.A04 а), 1.2.A02 б), 1.2.B02 б), 1.2.B05 а), 1.2.B07 б), 1.2.B09 а), 1.2.C01 б), 1.2.C03 а), 1.3.A02 б), 1.3.B01 б), 1.3.C10 а), 1.3.D09 а),1.3.D10 б), непосредственно связанных с преобразованием выражений. Решение этих примеров не предполагает пространных комментариев. Вместе с тем представляется целесообразным посоветовать школьнику записывать проводимые выкладки с такой степенью подробности, которая делает ясной и понятной логику последовательности преобразований и обеспечивает простоту и удобство проверки (в том числе и самопроверки) решения.

1.1.A01

б) Вычислите

ж
и

+0,91

ц
ш

:1,4+

ж
и

-1,911

ц
ш

·1

Решение.

+0,91=1,75+0,91=2,66.

2,66:1,4=1,9.

-1,911=1,2-1,911=-0,711.

-0,711·1

711

1000

100

=-0,9.

1,9-0,9=1.

Ответ:

1.1.A04

а) Даны функции P(x)=16x²-24x+9 и Q (x)=x³-4x²+6x+6. Найдите значение выражения

P³+Q³

P²-PQ+Q²

P³-Q³

P²+PQ+Q²

при x=0,75.

Решение. Воспользуемся формулами суммы и разности кубов:

P³+Q³

P²-PQ+Q²

P³-Q³

P²+PQ+Q²

(P+Q)(P²-PQ+Q²)

P²-PQ+Q²

(P-Q)(P²+PQ+Q²)

P²+PQ+Q²

=P+Q+P-Q=2P.

Подставив выражение для P, найдем2P=2(16x²-24x+9)=2(4x-3)².

При x=0,75 значение выражения 2(4x-3)² равно 0.

Ответ:

1.2.A02

б) Упростите выражение

a²-25b²

c²-4cd+4d²

c²-4d²

5b+a.

Решение.

a²-25b²

c²-4cd+4d²

c²-4d²

5b+a

(a-5b)(a+5b)

c²-4cd+4d²

(c-2d)(c+2d)

5b+a

(a-5b)(a+5b)(c-2d)(c+2d)

(c-2d)²(5b+a)

(a-5b)(c+2d)

c-2d.

Ответ:

(a-5b)(c+2d)

c-2d.

1.2.B02

б) Упростите выражение

3x²-6x

x²+bx-ax-ab

x²-b²

x²-4

x³-a²x+2x²-2a²

x²-bx

Решение. С помощью группировки разложим выражения в числителе и знаменателе каждой дроби на множители:

3x²-6x

x²+bx-ax-ab

x²-b²

x²-4

x³-a²x+2x²-2a²

x²-bx

3x(x-2)

(x+b)(x-a)

(x+b)(x-b)

(x-2)(x+2)

(x²-a²)(x+2)

x(x-b)

=3(x+a).

Ответ:

3(x+a).

1.2.B05

а) Упростите выражение

ж
и

3ab^-1-

ba^-1

ц
ш

ж
и

3ab^-1+

ba^-1

+0,5^-1

ц
ш

ж
и

ba^-1

ц
ш

3a+b

ц
ш

Решение.

3ab^-1-

ba^-1

9a²-b²

3ab

ж
и

3a-b

ц
ш

ж
и

3a+b

ц
ш

3ab.

3ab^-1+

ba^-1

+0,5^-1=

+2=

9a²+b²+6ab

3ab

(3a+b)²

3ab.

ж
и

ba^-1

ц
ш

3a+b

ж
и

ц
ш

3a+b

3a-b

3a+b

3a-b

3a+b.

Тогда

(3a-b)(3a+b)

3ab

(3a+b)²

3ab

3a-b

3a+b

ж
и

3a-b

ц
ш

ж
и

3a+b

ц
ш

3ab

ж
и

3a+b

ц
ш

3a+b

3a-b

=1.

Ответ:

1.2.B07

б) Найдите значение выражения

4^-1+

-160·9^-1+4

ж
и

ц
ш

-2

-4+0,125^-1

ж
и

ц
ш

-1

ц
ш

-1

Решение. Воспользуемся определением степенис отрицательным показателем:

160

196

-4+8

ж
и

ц
ш

-1

ж
и

ц
ш

-1

=-2.

Ответ:

-2.

1.2.B09

а) Упростите выражение

3x+4

9x²+12x+16

3x-4

9x²-12x+16

3x+4

9x²+12x+16

3x-4

9x²-12x+16

Решение. Преобразуем числитель:

3x+4

9x²+12x+16

3x-4

9x²-12x+16

27x³+64+27x³-64

(9x²+12x+16)(9x²-12x+16)

54x³

(9x²+12x+16)(9x²-12x+16).

Преобразуем знаменатель:

3x+4

9x²+12x+16

3x-4

9x²-12x+16

27x³+64-27x³+64

(9x²+12x+16)(9x²-12x+16)

128

(9x²+12x+16)(9x²-12x+16).

Следовательно, данная дробь равна

27x³

64.

Ответ:

27x³

64.

1.2.C01

б) Упростите выражение

xyz-2x+z

Решение. Упростим первое слагаемое:

ж
и

ц
ш

ж
и

ц
ш

2(yz-2)

xyz-2x+z

yz-2

xyz-2x+z.

Следовательно,

xyz-2x+z

=0.

Ответ:

1.2.C03

а) Упростите выражение

(x+2a)(x+2b)

(c+a)(c+b)

(x+2b)(x-2c)

(a-b)(a+c)

(x-2c)(x+2a)

(b+c)(b-a)

Решение. Рассмотрим данное выражение как функцию f (x). Эта функция является многочленом степени не выше второй.

f (-2a)

(-2a+2a)(-2a+2b)

(c+a)(c+b)

(-2a+2b)(-2a-2c)

(a-b)(a+c)

(-2a-2c)(-2a+2a)

(b+c)(b-a)

(-2a+2b)(-2a-2c)

(a-b)(a+c)

4(a-b)(a+c)

(a-b)(a+c)

=4.

Аналогично, f (-2b)=4 и f (2c)=4.

Ни квадратичная, ни линейная функция вида y=kx+m, где k № 0, не могут принимать одно и то же значение в трех точках. Следовательно, степень многочлена f (x) равна 0.

Иными словами, f (x) — постоянная функция, равная 4 при всех значениях переменной.

Ответ:

1.3.A02

б) Упростите выражение

ж
Ц

4 ж
Ц

и найдите его значение при x=5^-14/9.

Решение. Поскольку x=5^-14/9 > 0, можно записать данное выражение с помощью степеней с дробным показателем:

ж
и

x(x·x^1/7)^1/4

ц
ш

1/2

=(x·x^8/7·1/4)^1/2=(x^2/7+1)^1/2=x^9/14.

Подставим x=5^-14/9, тогда

(5^-14/9)^9/14=

Ответ:

x^9/14;

Оглавление | Оглавление | Продолжение

Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.

Глава 1.Вычисления. Преобразование выражений

§ 1. Степень с натуральным, целым, рациональным показателем

Глава 1.
Вычисления. Преобразование выражений