Назад  | Оглавление | § 2 

Глава 1. Вычисления. Преобразование выражений
§ 1. Степень с натуральным, целым, рациональным показателем
Окончание

Решение. Обозначим выражение через p и рассмотрим его как квадратичную функцию z (x) относительно x при постоянном y.

Приведем многочлен p к стандартному виду относительно x: z (x)=x²+2(5-y)x+9y²+y-2.

Наименьшее значение z (x) равно

-

D 4

, где D — дискриминант z (x).

Находим 

D 4

=(5-y)2-(9y2+y-2)=-8y2-11y+27

.

Следовательно, находим 

min

z (x)=8y2+11y-27

.

Применив тот же метод, найдем наименьшее значение полученного трехчлена. Это значение равно 

985 32

.

Следовательно, многочлен p принимает все значения из промежутка 

й л

-

985 32

;+Ґ

ц ш

.

Ответ:

й л

-

985 32

;+Ґ

ц ш

.

Решение. Выразим x из равенства x-y=-1: x=-1+y.

Подставим полученное выражение в многочлен x²+y². Получим z (y)=(-1+y)²+y²=2y²-2y+1.

Наименьшее значение этого многочлена равно 

1 2

при

y=

-(-2) 2·2

=

1 2

.

Многочлен x²+y² принимает все значения из промежутка 

й л

1 2

;+Ґ

ц ш

.

Ответ:

й л

1 2

;+Ґ

ц ш

.

Решение. Требуется записать число 257 в виде

a·35+b·34+c·33+d·32+k·3+m.

Задачу можно решить перебором, начиная с коэффициента a.

Искомые числа: a=1; b=0; c=0; d=1; k=1; m=2.

Ответ:

a=1; b=0; c=0; d=1; k=1; m=2.

Решение. При x Ј -3 знаменатели дробей не обращаются в нуль. Поэтому 

f (x)=

x3 x-3

+

x2 x-1

-

27 x-3

-

1 x-1

=

x3-27 x-3

+

x2-1 x-1

=x2+3x+9+x+1=x2+4x+8

.

Функция f (x)=x²+4x+8 убывает при x О (-Ґ;-2] и возрастает при x О [-2;+Ґ).

Следовательно, на указанном промежутке

min

f (x)=f (-3)=5

.

Данная функция принимает все значения из промежутка [5;+Ґ).

Значение 5 принадлежит найденному промежутку.

Ответ

: Функция принимает значение 5. Множество значений функции — промежуток [5;+Ґ).

Решение. Составим уравнение 

x2+10x+61 x+5

=y

и ответим на вопрос: при каких значениях y это уравнение имеет решение?

Полученное уравнение равносильно уравнению

x2+10x+61=y(x+5)Ы x2+(10-y)x+61-5y=0.

Найдем дискриминант: D=(10-y)²-4(61-5y)=100-20y+y²-44+20y=y²-144.

Уравнение имеет решение, если y²-144 і 0, откуда

й к к к л y і 12, y Ј -12.

Следовательно, данная функция принимает все значения из множества (-Ґ;-12]И[12;+Ґ).

Значение данной функции не может быть равным 5.

Ответ:

Значение данной функции не может быть равным 5. Множество значений функции — (-Ґ;-12]И[12;+Ґ).

Решение. Составим уравнение 

x2+xy+4y2 (x-y)2

=a

и найдем значения параметра a, при которых это уравнение имеет решение.

Учитывая данное условие, находим, что полученное уравнение равносильно уравнению x²+xy+4y²=a(x-y)², откуда (a-1)x²-(2a+1)xy+(a-4)y²=0.

Если a=1, то уравнение принимает вид

-3xy-3y2=0Ы й к к к л y=0, x=-y.

Следовательно, при a=1 уравнение имеет решения.

Пусть a № 1. Если y=0, то из уравнения следует, что x=0. Но это невозможно в силу условия x-y № 0. Следовательно, y № 0.

Разделим обе части уравнения на y². Получим

(a-1) ж и  x y ц ш 2   -(2a+1)·  x y +a-4=0.

Сделаем замену переменной. Пусть 

z=

x y

. Получаем квадратное уравнение (a-1)z²-(2a+1)z+a-4=0.

Найдем дискриминант: D=(2a+1)²-4(a-4)(a-1)=24a-15.

Уравнение имеет решение, если 24a-15 і 0, откуда

a і

5 8

.

Найдем теперь значения a, при которых решение (x;y) удовлетворяет равенству x-y=0. При этом условии z=1. Подставим это значение в уравнение: (a-1)(-1)²-2a-1+a-4=0 Ы a-1-2a-1+a-4=0 Ы -6=0.

Полученное равенство неверно. Следовательно, при всех

a і

5 8

решение (x;y) удовлетворяет условию x-y № 0.

Данное выражение принимает все значения из множества 

й л

5 8

;+Ґ

ц ш

.

Значение данного выражения может быть равным 1.

Ответ:

Значение данного выражения может быть равным 1. Множество значений выражения: 

й л

5 8

;+Ґ

ц ш

.

Решение. Упростим выражение

(x-1)-1/2-9 (x-1)-1/2+3(x-1)-1/4 -(x-1)1/4.

Сделаем замену переменной. Пусть y=(x-1)^-1/4. Тогда выражение принимает вид 

y2-9 y2+3y

-

1 y

=

(y-3)(y+3) y(y+3)

-

1 y

.

Функция p (x) определена при x-1 > 0. При этом y > 0. Следовательно, при всех допустимых значениях аргумента 

(y-3)(y+3) y(y+3)

-

1 y

=

y-3 y

-

1 y

=1-

4 y

.

Поскольку

1-

4 y

< 1

при y > 0, множество значений данной функции — луч (-Ґ;1). Функция p (x) принимает значение -2.

Ответ:

Функция p (x) принимает указанное значение. Множество значений функции: (-Ґ;1).

Решение. Найдем область определения функции f(x):

м п п н п п о x+3 > 0, 5-x > 0, x+3 № 5-x, Ы м п н п о -3 < x < 5, x № 1.

Все числа промежутка -3 < x < 1 удовлетворяют полученной системе.

Упростим выражение 

(x+3)0,5+(5-x)0,5 (x+3)0,5-(5-x)0,5

+

(x+3)0,5-(5-x)0,5 (x+3)0,5+(5-x)0,5

=

Ц x+3 + Ц 5-x Ц x+3 - Ц 5-x

+

Ц x+3 - Ц 5-x Ц x+3 + Ц 5-x

=

ж и Ц   x+3   + Ц   5-x   ц ш 2   + ж и Ц   x+3   - Ц   5-x   ц ш 2   ж и Ц   x+3   + Ц   5-x   ц ш ж и Ц   x+3   - Ц   5-x   ц ш

=

x+3+2 Ц   x+3   Ц   5-x   (+(5-x)+x+3)-2 Ц   x+3   Ц   5-x   +5-x x+3-(5-x)

=

16 2x-2

=

8 x-1

.

Следовательно, 

f (x)=

8 x-1

для всех x О (-3;1);

f (1-x)=

8 (1-x)-1

=-

8 x

;

f (1+x)=

8 (1+x)-1

=

8 x

.

Поэтому f (1-x)+f (1-x)=0.

Ответ:

0.

 Назад  |  Оглавление  |  § 2 

Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия

Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru. Заказ книги: biblio@mccme.ru.