Книга для учителя МЦНМО 2003

 § 1  | Оглавление | Продолжение 

Глава 1. Вычисления. Преобразование выражений

§ 2. Тригонометрические выражения

При повторении темы «Преобразование тригонометрических выражений» следует иметь в виду, что учащиеся должны помнить формулы, связывающие тригонометрические функции одного и того же аргумента, и формулы суммы и разности синуса и косинуса двух чисел (углов). Существуют разные точки зрения на то, какие формулы тригонометрии следует приводить в справочных материалах. Решение задач уровней А и В сборника требует применения лишь указанных выше формул (либо их прямых следствий). Знание этих формул считается обязательным для учащихся. Поэтому в справочных материалах эти формулы не приводятся. Здесь можно найти формулы преобразования суммы двух тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму (именно эти формулы хуже всего запоминаются многими учащимися, хотя их применение, как правило, затруднений не вызывает). Среди помещенных формул нет формул двойного угла, однако есть формулы половинного, являющиеся одновременно формулами понижения степени. Формулы синуса и косинуса тройного угла даже на вступительных экзаменах применяются достаточно редко (их использование предполагается лишь в нескольких задачах уровней С и D сборника). Эти формулы не требуют заучивания, а в случае необходимости обычно выводятся в ходе решения задачи (именно для того, чтобы избавить выпускника от необходимости такого вывода, эти формулы и приведены в справочнике). В справочнике отсутствуют формулы приведения, которые в процессе изучения тригонометрии, как правило, выводятся тем или иным образом, но совершенно не нуждаются в заучивании, если ученик понимает принцип их действия. Нет в справочных материалах и формулы
acosa+bsina =
Ц
 
a2 + b2
 
 cos(a- j)
(где
cosj =  a

Ц
a2 + b2

,
sinj =  b

Ц
a2 + b2

, причем a2 + b2 № 0), как и трех ее аналогов (эти формулы иногда называют формулами тригонометрической свертки). Также отсутствуют в справочных сведениях формулы универсальной тригонометрической подстановки, применяющиеся достаточно редко и при неумелом использовании приводящие к ошибкам.

По ныне действующей программе тригонометрия практически полностью перенесена в 10 класс. Поэтому в сборнике можно найти упражнения, ранее включавшиеся в экзамен за курс девятилетней школы (например, 1.4.A01, 1.4.B04, 1.4.B09, 1.4.C08 и др.) Приведем решения нескольких примеров. Вначале рассмотрим задачи на вычисление значений тригонометрических функций одного и того же аргумента по значению одной из них.


1.4.A02

а) Дано: 
sina = -  15
17

, 
 35p
2
 < a <  37p
2

.

Найдите cosa, tana, 
ctg
a

.

Решение. Поскольку из условия задачи следует неравенство 
18p-  p
2
 < a < 18p+  p
2

, то, учитывая знак синуса, находим, что точка Pa принадлежит 4-й четверти. Поэтому 
cosa =   ж
Ц
1-  225
289
 
 =   ж
Ц
 64
289
 
 =  8
17

;


tana =  sina
cosa
 =-  15
17
 ·  17
8
 =-  15
8

.


ctg
a =  1
tana
 =-  8
15

;

Ответ:


cosa =  8
17
 ;tana = -  15
8
 ; ctg
a = -  8
15

.


1.4.B01

б) Дано: 
ctg
a = -4

, 
 7p
2
 < a <  9p
2

.

Найдите tana, sina, cosa.

Решение.
tana =  1
ctg
a
 =-  1
4

.

Учитывая знак тангенса и условие задачи 
4p-  p
2
 < a < 4p+  p
2

, находим, что точка Pa принадлежит 4-й четверти. Поэтому 
sina = -  1
  ж
Ц
1+ 2
ctg
 
 a
 
 =-  1

Ц
17

;


cosa = ctg
a·sina = -4· ж
з
и 		-  1

Ц
17
 ц
ч
ш 		=  4

Ц
17

.

Ответ:


tana = -  1
4
 ;sina = -  1

Ц
17
 ;cosa =  4

Ц
17

.

Следующая группа задач – задачи на вычисление значения некоторого тригонометрического выражения по значению другого тригонометрического выражения.


1.4.B02

б) Дано: 
sinacosa =  1
5

, -3p < a < -2p.

Найдите sina+cosa.

Решение. Из условия -3p < a < -2p и неравенства sinacosa > 0 следует, что точка Pa принадлежит 3-й четверти.

Следовательно, sina+cosa < 0.

Кроме того, 
(cosa+sina)2=cos2a+2cosasina+sin2a = 1+2sinacosa = 1+  2
5
 =  7
5

.

Поэтому, 
sina+cosa = -   ж
Ц
 7
5
 

.

Ответ:


-   ж
Ц
 7
5
 

.


1.4.B11

б) Дано: 3sina+3cosa = 1. Найдите  sinacosa.

Решение. Возведем обе части данного равенства в квадрат:
(3sina+3cosa)2=1Ю 9sin2a+18sinacosa+9cos2a = 1Ю9(sin2a+cos2a)+18sinacosa = 1Юsinacosa = -  4
9

.

Ответ:


-  4
9

.


1.4.C09

б) Найдите значение выражения
  ж
Ц
 1-sina
1+sina
 
 -   ж
Ц
 1+sina
1-sina
 

, если 
tana =  6
5

и 
-  13p
2
 < a < -  11p
2

.

Решение.
  ж
Ц
 1-sina
1+sina
 
 -   ж
Ц
 1+sina
1-sina
 
 =   ж
Ц
 (1-sina)2
(1+sina)(1-sina)
 
 -   ж
Ц
 (1+sina)2
(1-sina)(1+sina)
 
 =   ж
Ц
 (1-sina)2
1-sin2a
 
 -   ж
Ц
 (1+sina)2
1-sin2a
 
 =   ж
Ц
 (1-sina)2
cos2a
 
 -   ж
Ц
 (1+sina)2
cos2a
 
 =  1-sina
|cosa|
 -  1+sina
|cosa|
 =-  2sina
|cosa|

.

Из условия 
-  13p
2
 < a < -  11p
2

следует, что |cosa|=cosa. Поэтому 
  ж
Ц
 1-sina
1+sina
 
 -   ж
Ц
 1+sina
1-sina
 
 =-2tana

.

Следовательно, при 
tana =  6
5

данное выражение равно 
-  12
5

.

Ответ:


-  12
5

.


1.4.C11

б) Найдите значение выражения
cos ж
и 		 35p
4
 -  12a
11
 ц
ш
cos ж
и 		 12a
11
 -  33p
4
 ц
ш
, если tan  12a
11
 =  12
11
 .

Решение.
cos ж
и 		 35p
4
 -  12a
11
 ц
ш
cos ж
и 		 12a
11
 -  33p
4
 ц
ш
=
cos ж
и 		 p
2
 - ж
и 		 12a
11
 -  33p
4
 ц
ш 		ц
ш
cos ж
и 		 12a
11
 -  33p
4
 ц
ш
=
sin ж
и 		 12a
11
 -  33p
4
 ц
ш
cos ж
и 		 12a
11
 -  33p
4
 ц
ш
=tan ж
и 		 12a
11
 -  33p
4
 ц
ш

.

Используя условие 
tan  12a
11
 =  12
11

, получаем 
tan ж
и 		 12a
11
 -  33p
4
 ц
ш 		=
tan  12a
11
 -tan  33p
4
1+tan  12a
11
 tan  33p
4
 =
tan  12a
11
 -1
1+tan  12a
11
 =
 12
11
 -1
 12
11
 +1
 =  1
23

.

Ответ:


 1
23

.

 § 1  |  Оглавление  |  Продолжение 
Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100