Книга для учителя МЦНМО 2003


 § 2  | Оглавление | Продолжение 

Глава 1. Вычисления. Преобразование выражений


§ 3. Степень с действительным показателем

Упражнения § 5 первой главы сборника в основном связаны с показательной функцией и ее свойствами. В этом параграфе, как и в предыдущих, проверяется не только умение выполнять преобразования на основе известных свойств, но и овладение учащимися функциональной символикой. Среди заданий сборника можно выделить следующие группы:

Рассмотрим ряд задач, связанных с функциональной символикой.


1.5.A02

б) Даны функции 
f (x)=  3·52x-4·5-2x

2

и 
g (x)=  3·52x+4·5-2x

2

. Найдите значение выражения f2(x)-g2(x).

Решение. Воспользуемся формулой разности квадратов:
f2(x)-g2(x)= ж
и
 3·52x-4·5-2x

2
ц
ш
2

 
- ж
и
 3·52x+4·5-2x

2
ц
ш
2

 
=  3·52x-4·5-2x+3·52x+4·5-2x

2
·  3·52x-4·5-2x-3·52x-4·5-2x

2
=3·52x·(-4·5-2x)=-12

.

Ответ:

-12.


1.5.A06

б) Представьте функцию f (x)=102x·0,13x в виде показательной функции и найдите ее основание.

Решение.
f (x)=102x·0,13x=102x·10-3x=10-x= ж
и
 1

10
ц
ш
x
 

.

Основанием функции является число 
 1

10

.

Ответ:


f (x)= ж
и
 1

10
ц
ш
x
 

. Основание функции — число 
 1

10

.


1.5.B03

а) Представьте функцию 
f (x)=  3x+1+3x+2

4x+2-4x+1

в виде показательной функции, найдите ее основание и вычислите 9f (-1).

Решение.
f (x)=  3x+1+3x+2

4x+2-4x+1
=  3x(3+32)

4x(42-4)
=  3x·12

4x·12
= ж
и
 3

4
ц
ш
x
 

.

Основанием функции является число 
 3

4

.


9f (-1)=9 ж
и
 3

4
ц
ш
-1
 
=9·  4

3
=12

.

Ответ:


f (x)= ж
и
 3

4
ц
ш
x
 

; основание функции — число 
 3

4

; 9f (-1)=12.


1.5.B05

б) Даны функции 
g (x)=  2x-2-x

14

и 
f (x)=  2x+2-x

14

. Упростите выражение f (2x)-14g2(x).

Решение.
g2(x)= ж
и
 2x-2-x

14
ц
ш
2
 
=  22x-2+2-2x

196
=  22x+2-2x

196
-  1

98
=  1

14
f (2x)-  1

98

. Следовательно,
f (2x)-14g2(x) =f (2x)-14 ж
и
 1

14
f (2x)-  1

98
ц
ш
=14·  1

98
=  1

7

.

Ответ:


 1

7

.


1.5.C11

б) Даны функции 
g (x)=  4x-4-x

6

и 
f (x)=  4x+4-x

6

. Найдите значение выражения f (x)f (y)-g (x)g (y), если f (x-y)=9.

Решение.
f (x)f (y)-g (x)g (y)=  4x+4-x

6
·  4y+4-y

6
-  4x-4-x

6
·  4y-4-y

6
=  4x·4y+4-x·4y+4x·4-y+4-x·4-y

36
-  4x·4y-4-x·4y-4x·4-y+4-x·4-y

36
=  2·4-x·4y+2·4x·4-y

36
=  2(4x-y+4-(x-y))

36
=  1

3
f (x-y)=3

.

Ответ:

3.

Приведем краткие решения упражнений на преобразование выражений, содержащих степень с действительным показателем, и на вычисление значений таких выражений и значений показательной функции.


1.5.B07

а) Известно, что 6a-6-a=6. Найдите значение выражения (6a-6)·6a.

Решение. Из условия задачи следует 6a-6=6-a. Тогда, (6a-6)·6a=6-a·6a=1.

Ответ:

1.


1.5.B09

а) Дана функция 
f (x)= ж
и
232 ж
и
23 ц
ш
2
 

ж
и
232 ц
ш
2
 
ц
ш
-x
 

.

Найдите f (2).

Решение. Воспользуемся свойствами степеней:
 232(23)2

(232)2
=  23·2

232
=26-9=  1

8

. Следовательно, f (x)=8x, а f (2)=82=64.

Ответ:

64.


1.5.C02

а) Найдите значение выражения
ж
и
 Ц5

7
Ц

25
ц
ш
[ 14/3]
 

.

Решение. Воспользуемся определением и свойствами степени с рациональным показателем:
ж
з
и
 Ц5

7
Ц

25
ц
ч
ш
[ 14/3]

 
=(5[ 1/2]-2/7)14/3=5[ 3/14]·[ 14/3]=5

.

Ответ:

5.


1.5.C04

а) Найдите значение выражения 4·6x+3·6y, если 6[(x+y)/2]=a, 6[(x-y)/2]=b.

Решение. По условию 6[(x+y)/2]=a; 6[(x-y)/2]=b. Перемножив эти равенства почленно, получим 6[(x+y)/2]·6[(x-y)/2]=ab Ы 6[(x+y)/2]+[(x-y)/2]=ab Ы 6x=ab.

Разделив почленно первое из данных равенств на второе, получим 
6[(x+y)/2]:6[(x-y)/2]=  a

b

Ы
6[(x+y)/2]-[(x-y)/2]=  a

b

Ы
6y=  a

b

.

Следовательно, 
4·6x+3·6y=4ab+3·  a

b

.

Ответ:


4ab+3·  a

b

.


1.5.C05

б) Найдите значение выражения 7a-b, если 
 7a+3·7b

7a+7b
=2

.

Решение. По условию 
 7a+3·7b

7a+7b
=2

. Разделим числитель и знаменатель левой части данного равенства на 7b.

Получим 
 7a-b+3

7a-b+1
=2

.

Сделаем замену. Пусть y=7a-b. Равенство принимает вид
 y+3

y+1
=2

. Решим полученное уравнение:
 y+3

y+1
=2 Ы м
п
н
п
о
y+3=2(y+1),
y+1 0
Ы м
п
н
п
о
y=1,
y -1
Ы y=1.

Ответ:

1.


1.5.D03

б) Упростите выражение f(-4)-f(4), если
f(x) = ж
и
ж
и
 7x-2x

2x
ц
ш
2

 
-  (7x-2x)2-4·14x

4x-14x
ц
ш
2

 
·  24x

9·196x-6·73x·2x+74x

.

Решение. Сделаем замену переменной. Пусть u=7x; v=2x. Выражение
ж
и
ж
и
 7x-2x

2x
ц
ш
2
 
-
ж
и
7x-2x ц
ш
2
 
-4·14x

4x-14x
ц
ш
2

 
·  24x

9·196x-6·73x·2x+74x

принимает вид 
ж
и
ж
и
 u-v

v
ц
ш
2
 
-
ж
и
u-v ц
ш
2
 
-4uv

v2-uv
ц
ш
2

 
·  v4

9u2v2-6u3v+u4

.

Упростим его:
ж
и
ж
и
 u-v

v
ц
ш
2
 
-  (u-v)2-4uv

v2-uv
ц
ш
2

 
·  v4(v-u)2

9u2v2-6u3v+u4
= ж
и
 (u-v)2

v2
-  u2-2uv+v2-4uv

v(v-u)
ц
ш
2

 
·  v4

u2(9v2-6uv+u2)
= ж
и
 (v-u)3-u2v+6uv2-v3

v2(v-u)
ц
ш
2

 
·  v4

u2(3v-u)2
= ж
и
 v3-3v2u+3vu2-u3-u2v+6uv2-v3

v2(v-u)
ц
ш
2

 
·  v4

u2(3v-u)2
= ж
и
 3v2u+2vu2+u3

v2(v-u)
ц
ш
2

 
·  v4

u2(3v-u)2
=  u2(3v2+2vu-u2)2

v4(v-u)2
·  v4

u2(3v-u)2
=  (3v2+2vu-u2)2

(v-u)2(3v-u)2

.

Разложим многочлен 3v2+2vu-u2 на множители. Для этого решим уравнение 3v2+2vu-u2=0 как квадратное относительно v.
v=
-u±
Ц

u2+3u2

3
Ы й
к
к
к
к
к
л
v=-u,
v=  u

3
.
Следовательно, 
3v2+2vu-u2=3 ж
и
v-  u

3
ц
ш
(v+u)=(3v-v)(v+u)

. Тогда 
 (3v2+2vu-u2)2

(v-u)2(3v-u)2
=  (3v-u)2(v+u)2

(v-u)2(3v-u)2

.

Если 3v u, то, сократив дробь, получим 
 (v+u)2

(v-u)2
= ж
и
 v+u

v-u
ц
ш
2
 

. Условие 3v u после обратной замены переменных принимает вид 3·2x 7x Ы
ж
и
 7

2
ц
ш
x

 
3

Ы x log[ 7/2]3.

Следовательно, если x log[ 7/2]3, то 
f (x)= ж
и
 2x+7x

2x-7x
ц
ш
2
 

.

Чтобы вычислить f (-4)-f (4), заметим, что функция
f (x)= ж
и
 2x+7x

2x-7x
ц
ш
2
 

четна. В самом деле, область определения функции f(x): D (f )=(-Ґ;0)И(0;+Ґ).
f (-x)= ж
и
 2-x+7-x

2-x-7-x
ц
ш
2
 
.

Умножим числитель и знаменатель дроби на 14x:
f (-x)= ж
и
 7x+2x

7x-2x
ц
ш
2

 
=f(x).

Поэтому f(-4)=f(4) и f(-4)-f (4)=0.

Ответ:

0.


1.5.D05

а) Упростите выражение для f (x) и вычислите f (4), если
f(x)= ж
и
2[(3x)/2]-3[(3x)/2] ц
ш
:
2 ж
и
2x+3x+6[(x)/2] ц
ш

ж
и
2[(x)/4]-3[(x)/4] ц
ш
2
 
+ ж
и
2[(x)/4]+3[(x)/4] ц
ш
2
 
+5·2[(x)/2]

.

Решение. Сделаем замену переменной. Пусть u=2[(x)/4];v=3[(x)/4].

Выражение принимает вид 
(u6-v6):  2(u4+v4+u2v2)

(u-v)2+(u+v)2
= (u2-v2)(u4+u2v2+v4  (u-v)2+(u+v)2

2(u4+v4+u2v2)
=(u2-v2  2u2+2v2

2
=(u2-v2)(u2+v2)=u4-v4

.

Следовательно, данную функцию можно записать в виде f (x)=2x-3x+5·2[(x)/2]. Тогда f (4)=24-34+5·22=-45.

Ответ:

f(x)=2x-3x+5·2[(x)/2]f (4)=-45.

 § 2  |  Оглавление  |  Продолжение 

Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.
Rambler's Top100